Explore every episode of the podcast Modellansatz
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| Wahlmodelle | 10 Feb 2024 | 00:16:12 | |
Gudrun sprach im Januar 2024 mit zwei Studenten ihrer Vorlesung Mathematical Modelling and Simulation: Lukas Ullmer und Moritz Vogel. Sie hatten in ihrem Projekt Wahlmodelle ananlysiert. In dem Gespräch geht es darum, wie man hierfür mathematische Modelle findet, ob man Wahlsysteme fair gestalten kann und was sie aus den von ihnen gewählten Beispielen gelernt haben. Der Fokus ihrer Projektarbeit liegt auf der Betrachtung und Analyse von Wahlen, in denen mehrere verschiedene Wähler zu einem Thema abstimmen. Formal von Relevanz sind hierbei die sogenannten Wahlsysteme, welche die Art der Aggregation der Wählerstimmen beschreiben. Diese fallen in der Praxis recht vielfältig aus und über die Jahre wurden verschiedenste Wahlsysteme vorgeschlagen, angewendet und auch analysiert. In dieser Arbeit werden drei Kategorien präferenzbasierter Wahlsysteme analysiert: vergleichsbasierte Systeme, Scoring-Systeme sowie Approval-Systeme. Aufbauend darauf erfolgt die Konstruktion mehrstufiger und hybrider Wahlsysteme. Desweiteren werden verschiedenen Wahleigenschaften wie z.B. die Nicht-Diktatur oder die Strategiesicherheit betrachtet. Diese meist wünschenswerten Eigenschaften schließen sich teilweise gegenseitig aus. Die Themen Wahlmanipulation und Wahlkontrolle liegen deshalb besonders im Fokus. Literatur und weiterführende Informationen
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| Podcast Lehre | 03 Oct 2023 | 01:42:14 | |
In dieser Folge geht es darum, wie Sebastian und Gudrun Mathematik an Hochschulen unterrichten und welche Rollen das Medium Podcast und konkret unser Podcast Modellansatz dabei spielen. Die Fragen stellte unsere Hörerin Franziska Blendin, die in der Folge 233 im Jahr 2020 über Ihr Fernstudium Bachelor Maschinenbau berichtet hatte. Sie hatte uns vorab gefragt: "Was versprecht ihr euch von dem Podcast - was ist euer Fazit nach den Jahren den ihr ihn schon macht und wie gestaltet ihr warum Lehre? Was macht euch Spaß, was sind Herausforderungen, was frustriert euch? Warum und wie gestaltet ihr Lehre für Studierende außerhalb der Mathematik, also beispielsweise Maschinenbau?" Es ist ein bisschen lustig, dass die erste Folge Modellansatz, in der Sebastian und Gudrun sich spontan ein Thema zum reden suchten ausgerechnet ein Gespräch über eine neu konzipierte Vorlesung war und der Podcast diese Vorlesung bis heute in unterschiedlichen Rollen begleitet, obwohl das nicht zum ursprünglichen Plan gehörte, wie wir uns einen Podcast über Mathematik vorgestellt hatten. Einerseits haben viele kein Verständnis dafür, was alles mit Mathe gemacht werden kann, andererseits erleben wir intern andauernd so viele spannenden Vorträge und Personen. Eigentlich bringen wir die beiden Sachen in unserem Podcast nur zusammen. Das Medium Podcast ist dabei durch das Gespräch sehr niederschwellig: Es ist so sehr leicht mit den Gesprächen in die Themen einzusteigen und auch auf viel weiteren Ebenen sich darüber zu unterhalten. Wir sind überzeugt, dass wir mit Text oder Video nie so viele und so umfangreiche Austauschsformen einfangen können, mal ganz abgesehen davon, dass die Formate dann an sich für uns zu einer viel größeren Herausforderung in Form und Darstellung geworden wären. Wir hoffen, dass sich irgendwann auch mal eine Person dazu bekennt, wegen unseres Podcasts ein Mathe- oder Informatikstudium zu erwägen, aber bisher ist das tolle Feedback an sich ja schon eine ganz ausgezeichnete Bestätigung, dass diese Gespräche und Themen nicht nur uns interessieren. Viele der Gespräche haben sich auch schon vielfach für uns gelohnt: Sebastian hat aus vielen Gesprächen Inspirationen für Vorlesungen oder andere Umsetzungen gewonnen. Ein Fazit ist auf jeden Fall, dass das Ganze noch lange nicht auserzählt ist, aber wir auch nicht außerhalb unserer Umgebung leben. In der Pandemie sind einerseits Gespräche am Tisch gegenüber, wie wir sie gerne führen, schwierig geworden, und gleichzeitig ist die Lehre so viel aufwendiger geworden, dass kaum Zeit verblieb. Aufnahmen, waren zuletzt hauptsächlich "interne" Podcasts für Vorlesungen, damit die Studierenden daheim und unterwegs sich mit den Inhalten auseinandersetzen können. Gudrun hat damit auch Themen vorbereitet, die sie anschließend in die Zeitschrift Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung als Artikel geschrieben hat. Das betrifft insbesondere die Folgen zu Allyship und zum Mentoring in der Mathematik. In der Vermittlung von Mathematik im Studium gibt es kaum Themen, die nicht irgendwo spannend und interessant sind. Um die Themen zu verstehen oder wie dort die Lösungen oder Verfahren gefunden wurden, muss die Theorie behandelt und in weiten Teilen verstanden werden. Da aber "Rosinenpickerei" nichts bringt (also nur die nötigsten Teile von Theorie zu erzählen), geht es darum, ein sinnvolles Mittelmaß zu finden. Also auf der einen Seite ein gutes Fundament aufzubauen zu einem Thema, aber gleichzeitig noch Zeit für Einblicke in spannende und interessante Teile zu haben. Es ist in der Vorbereitung auf der einen Seite total schön, wenn dann eine Anwendung perfekt in die Theorie passt, beispielsweise entwirft Sebastian gerade ein Skript zu formalen Sprachen und Grammatiken, und dann kann man das Komprimierverfahren LZW als eine dynamische Grammatik sehen. Oder es geht um theoretische und "langweilige" Zustandsmaschinen und dann gibt es das Beispiel, dass die Raspberry Pi Foundation gerade dazu einen eigenen Chip (RP2040) mit solchen Komponenten veröffentlicht, oder mit dem Newton-Verfahren wurde die schnelle Quadratwurzel für das Computerspiel Quake erst möglich. Ob das dann auch so toll in der Vorlesung herüberkommt, ist nochmal ein eigenes Thema, aber wenn es klappt, so ist das natürlich großartig. Umgekehrt frustriert es dann schon, wenn die Grundlagen nicht bei möglichst vielen ankommen- nicht jede Person muss sich ja bis ins letzte für ein Thema begeistern, aber am Ende sollte der Großteil die wichtigen Hauptsachen mitnehmen. Leider gibt es immer ein paar Leute, wo das dann trotz vieler Angebote leider nicht so gut klappt, und das frustriert natürlich. Dann muss geschaut werden, woran es liegen könnte. Aktuell hilft das Nörgeln und Nerven, wenn nicht regelmäßig die angebotenen Übungsaufgaben abgegeben werden, wohl mit am Besten. Warum werden mathematische Themen im Ingenieurstudium relevant: Das hängt ganz davon ab, welche Kurse wir haben, und was gebraucht wird... Sebastian unterrichtet jetzt gerade Informatik-Studierende und in den Wirtschaftswissenschaften, früher außer MACH/CIW/BIW/MAGE... auch mal Mathe-Lehrende. Das "Wie" ist dann jeweils auf die Gruppe zugeschnitten: Zunächst gibt es ja unterschiedliche Voraussetzungen: Curriculum, Haupt- & Nebenfächer, etc.. Dann gibt es eine Liste von Fertigkeiten, die vermittelt werden sollen und können, und dann besonders in den Vorlesungen außerhalb des Mathematik-Studiums die lästige Beschränkung des Umfangs der Veranstaltung, und wieviel Eigenarbeit erwartet werden kann. Grundsätzlich möchten wir auch bei den Nicht-Hauptfächlern so viel davon erzählen, was dahinter steht- statt "ist halt so"- und was heute damit gemacht werden kann. Diese Motivation macht vielen das Lernen leichter. Es muss aber auch immer viel selbst gemacht werden, dh. viele Aufgaben und prototypische Problemlösungen, denn Mathe lernt sich nicht durchs zuhören alleine. (leider... ;) Damit geht das Puzzle-Spiel los: Welche Grundlagen müssen aufgebaut werden, und was kann wie in der gegebenen Zeit sinnvoll behandelt werden... Und natürlich immer mit dem Blick darauf, ob es Anküpfungspunkte in die Studienrichtungen der Studierenden gibt. Literatur und weiterführende Informationen
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| Dynamische Benetzung | 11 Jul 2021 | 01:06:26 | |
Gudrun spricht in dieser Folge mit Mathis Fricke von der TU Darmstadt über Dynamische Benetzungsphänomene. Er hat 2020 in der Gruppe Mathematical Modeling and Analysis bei Prof. Dieter Bothe promoviert. Diese Gruppe ist in der Analysis und damit in der Fakultät für Mathematik angesiedelt, arbeitet aber stark interdisziplinär vernetzt, weil dort Probleme aus der Verfahrenstechnik modelliert und simuliert werden. Viele Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften erfordern ein tiefes Verständnis der physikalischen Vorgänge in mehrphasigen Strömungen, d.h. Strömungen mit mehreren Komponenten. Eine sog. "Kontaktlinie" entsteht, wenn drei thermodynamische Phasen zusammenkommen und ein komplexes System bilden. Ein typisches Beispiel ist ein Flüssigkeitströpfchen, das auf einer Wand sitzt (oder sich bewegt) und von der Umgebungsluft umgeben ist. Ein wichtiger physikalischer Parameter ist dabei der "Kontaktwinkel" zwischen der Gas/Flüssig-Grenzfläche und der festen Oberfläche. Ist der Kontaktwinkel klein ist die Oberfläche hydrophil (also gut benetzend), ist der Kontaktwinkel groß ist die Oberläche hydrophob (schlecht benetzend). Je nach Anwendungsfall können beide Situationen in der Praxis gewollt sein. Zum Beispiel können stark hydrophobe Oberflächen einen Selbstreinigungseffekt aufweisen weil Wassertropfen von der Oberfläche abrollen und dabei Schmutzpartikel abtransportieren (siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Lotoseffekt). Dynamische Benetzungsphänomene sind in Natur und Technik allgegenwärtig. Die Beine eines Wasserläufers nutzen eine ausgeklügelte hierarchische Oberflächenstruktur, um Superhydrophobie zu erreichen und das Insekt auf einer Wasseroberfläche leicht stehen und laufen zu lassen. Die Fähigkeit, dynamische Benetzungsprozesse zu verstehen und zu steuern, ist entscheidend für eine Vielzahl industrieller und technischer Prozesse wie Bioprinting und Tintenstrahldruck oder Massentransport in Mikrofluidikgeräten. Andererseits birgt das Problem der beweglichen Kontaktlinie selbst in einer stark vereinfachten Formulierung immer noch erhebliche Herausforderungen hinsichtlich der fundamentalen mathematischen Modellierung sowie der numerischen Methoden. Ein übliche Ansatz zur Beschreibung eines Mehrphasensystems auf einer makroskopischen Skala ist die Kontinuumsphysik, bei der die mikroskopische Struktur der Materie nicht explizit aufgelöst wird. Andererseits finden die physikalischen Prozesse an der Kontaktlinie auf einer sehr kleinen Längenskala statt. Man muss daher das Standardmodell der Kontinuumsphysik erweitern, um zu einer korrekten Beschreibung des Systems zu gelangen. Ein wichtiges Leitprinzip bei der mathematischen Modellierung ist dabei der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, der besagt, dass die Entropie eines isolierten Systems niemals abnimmt. Dieses tiefe physikalische Prinzip hilft, zu einem geschlossenen und zuverlässigen Modell zu kommen. Die größte Herausforderung in der kontinuumsmechanischen Modellierung von dynamischen Benetzungsprozessen ist die Formulierung der Randbedingungen für die Navier Stokes Gleichungen an der Festkörperoberfläche sowie am freien Rand zwischen Gas und Flüssigkeit. Die klassische Arbeit von Huh und Scriven hat gezeigt, dass die übliche Haftbedingung ("no slip") an der Festkörperoberfläche nicht mit einer bewegten Kontaktlinie und damit mit einem dynamischen Benetzungsprozess verträglich ist. Man kann nämlich leicht zeigen, dass die Lösung für die Geschwindigkeit in diesem Fall unstetig an der Kontaktlinie wäre. Weil das Fluid (z.B. Wasser) aber eine innere Reibung (Viskosität) besitzt, würde dann mit einer unendlichen Rate ("singulär") innere Energie in Wärme umgewandelt ("dissipiert"). Dieses Verhalten ist offensichtlich unphysikalisch und zeigt dass eine Anpassung des Modells nötig ist. Einer der wesentlichen Beiträge von Mathis Dissertation ist die qualitative Analyse von solchen angepassten Modellen (zur Vermeidung der unphysikalischen Singularität) mit Methoden aus der Geometrie. Die Idee ist hierbei eine systematische Untersuchung der "Kinematik", d.h. der Geometrie der Bewegung der Kontaktlinie und des Kontaktwinkels. Nimmt man das transportierende Geschwindigkeitsfeld als gegeben an, so kann man einen fundamentalen geometrischen Zusammenhang zwischen der Änderungsrate des Kontaktwinkels und der Struktur des Geschwindigkeitsfeldes herleiten. Dieser geometrische (bzw. kinematische) Zusammenhang gilt universell für alle Modelle (in der betrachteten Modellklasse) und erlaubt tiefe Einsichten in das qualitative Verhalten von Lösungen. Neben der mathematischen Modellierung braucht man auch numerische Werkzeuge und Algorithmen zur Lösung der resultierenden partiellen Differentialgleichungen, die typischerweise eine Variante der bekannten Navier-Stokes-Gleichungen sind. Diese nichtlinearen PDE-Modelle erfordern eine sorgfältige Auswahl der numerischen Methoden und einen hohen Rechenaufwand. Mathis entschied sich für numerische Methoden auf der Grundlage der geometrischen VOF (Volume-of-Fluid) Methode. Die VOF Methode ist eine Finite Volumen Methode und basiert auf einem diskreten Gitter von würfelförmigen Kontrollvolumen auf dem die Lösung des PDE Systems angenähert wird. Wichtig ist hier insbesondere die Verfolgung der räumlichen Position der freien Grenzfläche und der Kontaktlinie. In der VOF Methode wird dazu für jede Gitterzelle gespeichert zu welchem Anteil sie mit Flüssigkeit bzw. Gas gefüllt ist. Aus dieser Information kann später die Form der freien Grenzfläche rekonstruiert werden. Im Rahmen von Mathis Dissertation wurden diese Rekonstruktionsverfahren hinsichtlich Ihrer Genauigkeit nahe der Kontaktlinie weiterentwickelt. Zusammen mit komplementären numerischen Methoden sowie Experimenten im Sonderforschungsbereich 1194 können die Methoden in realistischen Testfällen validiert werden. Mathis hat sich in seiner Arbeit vor allem mit der Dynamik des Anstiegs einer Flüssigkeitssäule in einer Kapillare sowie der Aufbruchdynamik von Flüssigkeitsbrücken (sog. "Kapillarbrücken") auf strukturierten Oberflächen beschäftigt. Die Simulation kann hier als eine numerische "Lupe" dienen und Phänomene sichtbar machen die, z.B wegen einer limitierten zeitlichen Auflösung, im Experiment nur schwer sichtbar gemacht werden können. Gleichzeitig werden die experimentellen Daten genutzt um die Korrektheit des Modells und des numerischen Verfahrens zu überprüfen. Literatur und weiterführende Informationen
229(10), 1849–1865 (2020).
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| Zerstäubung | 14 Dec 2017 | 00:31:07 | |
Corina Schwitzke ist Gruppenleiterin im Institut für thermische Strömungsmaschinen (ITS) am KIT. Gudrun wollte gern ein Gespräch über partikelbehaftete Strömungen mit ihr führen, denn dies ist ein wichtiges Thema in beiden Arbeitsgruppen. In Corinas Institut gilt das Interesse vor allem der Zerstäubung von Kerosin zu feinen Tröpfchen in Flugtriebwerken Seit 10 Jahren gibt es dort Strömungssimulation mit einer sogenannten Partikelmethode. Die Partikel in dieser Anwendung sind Stützstellen der Rechenmethode und repräsentieren die Flüssigkeit, z.B. Kerosin, und das Gas, d.h. die verdichtete Luft. Vom Blickpunkt der Simulation aus sind die Partikel eigentlich nur Diskretisierungspunkte, die sich mit der Strömung mitbewegen. Sie repräsentieren dabei ein Volumen und die benutzten Koordinaten "schwimmen" mit dem Fluid, d.h. die Methode benutzt ein Lagrange-Koordinatensystem. Die Gleichungen, die der Simulation zugrunde liegen, sind die Navier-Stokes Gleichungen - zunächst isotherm. Falls die Temperaturänderung mitbetrachtet werden muss, dann erfolgt das durch das Lösen der Energiegleichung, für die die diskrete Fassung sehr einfach zu realisieren ist. Das für den Zerstäubungsprozess gut geeignete numerische Verfahren, das am ITS umgesetzt wurde (und dort auch noch weiter entwickelt wird) ist Smoothed particle Hydrodynamics (SPH). Die Methode wurde zu Beginn der 1970er Jahre für die Simulation von Galaxie-Entstehung entwickelt. Ein großer Vorteil ist, dass das Verfahren sich extrem gut parallel implementieren läßt und die Simulation Gebiete ausspart, wo zunächst nichts passiert. Außerdem ist es einfacher, die Physik des Tröpfchenzerfalls zu modellieren als mit den klassischen kontinuumsmechanischen Ansätzen. Der wichtigste Aspekt für die Simulation der Kraftstoffzerstäubung ist die Oberflächenspannung. Sie muss physikalisch und numerisch richtig beschrieben werden und führt dann dazu dass ein Flüssigkeitsfilm in Tropfen zerfällt. Hier geht das Wissen um Oberflächenspannungskoeffizienten ein, die aus Experimenten gewonnen werden ebenso wie die erwartbaren Kontaktwinkel an Wänden. Das Kräftegleichgewicht von angreifenden Scher- und Oberflächenkräften muss die modellierende Physik abbilden - die numerischen Partikel bekommen daraus direkt eine Geschwindigkeit zugewiesen, die auch ausdrückt, ob der Film reißt oder zusammenhängend bleibt. Diese Partikelmethode vermeidet die Probleme von gitterbasierten Verfahren beim Reißen des Films, denn Grenzflächen werden automatisch mittransportiert. Durch die gut skalierende parallele Implementierung ist es möglich, mit einigen Milliarden Partikeln zu rechnen. Die Ergebnisse der Simulationen haben vielfältige Anwendungen. Eine ist es Schadstoffemission zu minimieren. Das ist möglich durch erzwingen der vollständigen Verbrennung des Kraftstoffes oder durch die Vermeidung der Entstehung von Stick- und Schwefeloxiden im Prozess. Das kann durch die Kraftstoffverteilung und über die Temperaturniveaus gesteuert werden. Eine andere Anwendung, die mit diesen Ideen schon funktioniert, ist die Kühlung von Zahnrädern in Getrieben durch einen Flüssigkeitsstrahl. In Zukunft soll auch die Simulation von Zerstäubung einer Biomasse möglich werden, die nichtnewtonsche Fließeigenschaften hat. Das große Ziel am ITS, das in naher Zukunft umgesetzt werden soll, ist ein virtueller Prüfstand für Zerstäubungsprozesse. Corina Schwitzke (geb. Höfler) hat Verfahrenstechnik an der Uni Karlsruhe studiert mit einem Schwerpunkt in Richtung Strömungsmechanik und Verbrennungstechnik. Ihre Diplomarbeit fertigte sie in Los Angeles zu einem Thema im Kontext von Verbrennung an. Es folgte eine Promotion an der KIT-Fakultät Maschinenbau in Karlsruhe, in der sie die Grundlage für die physikalische Modellierung der Zerstäubung mittels der SPH-Methode leistete. Studierende aus der Technomathematik und Informatik sowie dem Maschinenbau unterstützen das Institut in der Implementierung des Verfahrens. Literatur und weiterführende Informationen
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| Mikrowellen | 07 Dec 2017 | 00:20:28 | |
Gudrun unterhält sich diesmal mit Johanna Mödl. Johanna hat von August bis Oktober 2017 ihre Bachelorarbeit Analytische und numerische Untersuchungen zum mikrowelleninduzierten Temperaturanstieg von zylindrischen Probekörpern aus Beton geschrieben. Der Hintergrund war ein Thema aus dem Institut für Massivbau und Baustofftechnologie (Abt. Baustoffe und Betonbau). Dort wird untersucht, wie hochenergetische Mikrowellen solche Temperaturunterschiede in (trockenen) Betonkörpern erzeugen, dass der Werkstoff an der Oberfläche zerstört wird. Um Erfahrungswerte im Umgang mit diesem Verfahren zu erhalten, werden derzeit Laborexperimente durch das Institut für Massivbau und Baustofftechnologie und das Institut für Hochleistungsimpuls- und Mikrowellentechnik, beides Institute des Karlsruher Instituts für Technologie, durchgeführt. Auf Basis der Messergebnisse wird versucht, den Vorgang durch einfache Gleichungen zu beschreiben, um vorhersagen zu können, wie er sich in größerem Maßstab verhält. Aufgrund der Komplexität des Prozesses werden nur vereinfachende Modelle betrachtet. Da diese sich durch partielle Differentialgleichungen beschreiben lassen, sollte der Vorgang während der Bachelorarbeit aus mathematischer Sicht analysiert werden. Die Ausbreitung der Mikrowellen-Energie als Wärme im Baustoff wird durch die Wärmeleitungsgleichung gut beschrieben. Dies ist eine in der Mathematik wohlstudierte Gleichung. Im Allgemeinen lassen sich aber analytische Lösungen nur schwer oder gar nicht berechnen. Daher mussten zusätzlich numerische Verfahren gewählt und implementiert werden, um eine Approximation der Lösung zu erhalten. Johanna entschied sich für das Finite-Differenzen-Verfahren im Raum und ein explizites Eulerverfahren in der Zeitrichtung, da beide einfach zu analysieren und zu implementieren sind. Erfreulicherweise stimmt die numerisch auf diese Weise approximierte Lösung mit den experimentellen Ergebnissen in den hauptsächlichen Gesichtspunkten überein. Die Wärme breitet sich von der Quelle in den Beton aus und es kommt im zeitlichen Verlauf zu einer kontinuierlichen Erwärmung in den Körper hinein. Das größte Problem und die vermutliche Ursache dafür, dass die Meßdaten noch nicht ganz genau mit den Simulationen übereinstimmen ist, dass man physikalisch sinnvollere Randbedingungen bräuchte. Im Moment wird - wie üblich - davon ausgegangen, dass am Rand des Betonzylinders, wo nicht die Energie eintritt, der Körper Umgebungstemperatur hat. Hier bräuchte man eine phyiskalische Modellierung, die das korrigiert. Literatur und weiterführende Informationen
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| Wahlprognosemodelle | 23 Nov 2017 | 00:40:09 | |
Gudrun hat sich mit Oliver Beige unterhalten. Im Gespräch geht es um die theoretische Seite von Modellen für Wahlprognosen. Dabei beziehen sie sich in vielen Beispielen auf den Wahlkampf in den USA und insbesondere auf die Besonderheiten der Kampagne von Donald Trump. Die Gelegenheit bot sich vor einem gemeinsamen Konzertbesuch in Berlin-Neukölln in der Alten Welt Siralti. In der Theorie sind Wahlprognosemodell traditionell in der Politologie verankert, wurden aber immer mehr durch ökonomische Modelle verbessert. Die größte Veränderung der letzten Jahre ist, dass es immer mehr empirische Daten gibt, die auch zum Teil der Öffentlichkeit zur Verfügung stehen. Solche Daten und Diskussionen zur Wertung finden sich z.B. auf der Webseite FiveThirtyEight. Große Berühmtheit erreichte schließlich Nate Silver dadurch, dass er 2008 in 49 von 50 US-Bundeststaaten das Ergebnis der US-Präsidentschaftswahlen korrekt vorhergesagt hatte. Im Wahljahr 2012 stimmte seine Vorhersage sogar in allen 50 Staaten. Seine Ergebnisse erzielte er dabei lediglich durch Aggregation von veröffentlichten Umfrageergebnissen. Im Wahljahr 2016 hat aber Donald Trump die Wahl gewonnen obwohl Nate Silvers Modelle (und die Modelle ähnlich arbeitender Wahlforscher) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Hillary Clinton die Präsidentschaftswahl für sich entschieden wird, auf 70% - 99% beziffert hatten. Es stellt sich die Frage, wo der Fehler dieser Prognosemodelle lag. Wenn man im Jahr 2016 genau zuhörte, gab es auch Stimmen, die Donald Trump schon im Frühjahr als wahrscheinlichen Gewinner der Wahlen sahen - z.B. die Zeitung Los Angeles Times. Sie wurden in den Medien zwar lieber als Ausreißer dargestellt, behielten aber schließlich recht. Wieso? Sie hatten den Demographiewandel in den USA in ihre Modellbildung einbezogen. Um zu verstehen, was damit gemeint ist, muss man zunächst einmal klarer beschreiben, wie US-Wahlen traditionell bisher abliefen, und welche Modelle daraus abgeleitet wurden. Es gibt ein schönes Denkmodell, das veranschaulicht, wie das sogenannte Hotelling Gesetz (1929) wirkt. Man stelle sich zwei Eisverkäufer am Strand vor. Wie sollten sie jeweils ihren Stand so positionieren, dass sie möglichst viele Kunden anziehen? Die stille Annahme dabei ist, dass die Badenden gleichmäßig über den Strand verteilt sind und alle irgendwann Lust auf ein (genau ein) Eis bekommen. Das verblüffende Ergebnis ist: Ein Equilibrium der Einflussbereiche der beiden Verkäufer stellt sich ein, wenn beide in der Mitte des Strandes nebeneinander stehen. Im Wahlkampf in den USA folgt man dieser Strategie, indem beide endgültigen Präsidentschaftskandidaten wenig ideologisch unterscheidbar aufgebaut werden. Begünstigt wird das auch durch das mehrstufige Wahlsystem, denn die Vorwahlen (Primaries) kann man dazu nutzen, dass die extremeren Kandidaten herausgefiltert werden. Dann entscheidet über den Sieg schließlich vor allem die erfolgreiche Mobilisierung der Wechselwähler. Eine (stillschweigende) Voraussetzungen dafür, dass von der Ähnlichkeit der Positionen der eigene Kandidat profitiert ist, dass die Wahlbeteiligung hoch ist. Das ist in den USA leider immer weniger der Fall. Dass die Wahlen 2016 anders verliefen als gewohnt, zeigte sich, als bei den Republikanern die Establishmentkandidaten keine Chance gegen den idologisch extremen Trump hatten. Bei den Demokraten konnte jedoch die moderatere Hillary Clinton den ideologisch positionierten Bernie Sanders ruhig stellen. Das bricht mit den bisher gültigen Annahmen der Wahlvorhersagemodelle: Hotellings Model funktioniert nicht mehr. Aber nur weniger der Modelle erkennen die veränderte Situation und reagieren mit neuen Prognosemodellen. Trump hatte dann schließlich auch Erfolg mit seiner Strategie, die Clinton-Wählerschaft zu entmutigen überhaupt zur Wahl zu gehen und die eigene - eigentlich kleine - Clientel extrem zu mobilisieren. Den Trend zur Radikalisierung der Republikaner beobachtet man tatsächlich schon eine Weile. Er setzte etwa mit der Wahl von Reagan ein. Es gab die inzwischen sprichwörtlichen "27%" -- Wähler, die auch einen völlig unqualifizierten rechtsgerichteten Kandidaten wählen. Der sprichwörtliche Name wurde erfunden, nachdem bei der Senatswahl in Illinois ein erkennbar aussichtsloser Kandidat gegen den damals unbekannten Obama 27% der Stimmen erhielt. Diese Zahl ist seitdem eher gestiegen. Für Wahlprognosen braucht es also Modelle, die dieses bekannte menschliche Verhalten besser berücksichtigen. Keith T. Poole und Howard Rosenthal sammeln alle Stimmen im amerikanischen Kongress - das sind ja einfache Ja/Nein Entscheidungen - und analysieren sie fortlaufend. Ihre Methoden lieferten Politikwissenschaftlern erstmals rigorose quantitative Methodiken für Ideologiehörigkeit von Entscheidern über die Zeit der Existenz der USA hinweg. Man nennt dies die Nominal Three-Step Estimation. Literatur und weiterführende Informationen
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| Weather Generator | 16 Nov 2017 | 00:38:24 | |
Gudrun is speaking with the portuguese engineer Bruno Pousinho. He has been a student of the Energy Technologies (ENTECH) Master program. This is an international and interdisciplinary program under the label of the European Institute of Innovation and Technology (EIT) inbetween a number of European technical universities. Bruno spent his second master year at the Karlsruhe Institute of Technology (KIT). Gudrun had the role of his supervisor at KIT while he worked on his Master's thesis at the Chair of Renewable and Sustainable Energy Systems (ENS) at TUM in Garching. His direct contact person there was Franz Christange from the group of Prof. Thomas Hamacher. Renewable energy systems are a growing part of the energy mix. In Germany between 1990 and 2016 it grew from 4168 GW to 104024 GW. This corresponds to an annual power consumption share of 3.4% and 31.7%, respectively. But in the related research this means a crucial shift. The conventional centralized synchronous machine dominated models have to be exchanged for decentralized power electronic dominated networks - so-called microgrids. This needs collaboration of mechanical and electrical engineers. The interdisciplinary group at TUM has the goal to work on modeling future microgrids in order to easily configure and simulate them. One additional factor is that for most renewable energy systems it is necessary to have the right weather conditions. Moreover, there is always the problem of reliability. Especially for Photovoltaics (PV) and wind turbines Weather phenomena as solar irradiation, air temperature and wind speed have to be known in advance in order to plan for these types of systems. There are two fundamentally different approaches to model weather data. Firstly the numerical weather and climate models, which provide the weather forecast for the next days and years. Secondly, so-called weather generators. The numerical models are very complex and have to run on the largest computer systems available. For that in order to have a simple enough model for planning the Renewable energy resources (RER) at a certain place weather generators are used. They produce synthetic weather data on the basis of the weather conditions in the past. They do not predict/forecast the values of a specific weather phenomenon for a specific time but provides random simulations whose outputs show the same or very similar distributional properties as the measured weather data in the past. The group in Garching wanted to have a time dynamic analytical model. The model is time continuous which grant it the ability of having any time sampling interval. This means it wanted to have a system of equations for the generation of synthetic weather data with as few as possible parameters. When Bruno started his work, there existed a model for Garching (developped by Franz Christange) with about 60 parameters. The aim of Bruno's work was to reduce the number of parameters and to show that the general concept can be used worldwide, i.e. it can adapt to different weather data in different climate zones. In the thesis the tested points range from 33º South to 40º North. The results of the project are published in the open source model 'solfons' in Github, which uses Python and was developed in MATLAB. References
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| Dämpfung viskoser Flüssigkeiten | 09 Nov 2017 | 00:39:50 | |
Gudrun und Karoline Disser trafen sich am Rand eines Seminarvortrages an der TU in Darmstadt. Dort arbeitet Karoline am internationalen Graduiertenkolleg Mathematical Fluid Dynamics als Postdoc. Der Forschungsgegenstand, über den die beiden schließlich ins Gespräch kamen, ist die Bewegung starrer Körper, in denen eine Flüssigkeit eingeschlossen ist. Ein recht anschauliches Beispiel hierfür ist die Frage, wie man herausfinden kann, ob ein Ei schon gekocht oder noch roh ist. Wenn man es auf einer glatten Fläche aufrecht stehend rotieren lässt, bleibt das gekochte Ei fast aufrecht, während sich das rohe Ei schnell hinlegt und weiter um eine kurze Achse rotiert. Die Flüssigkeit verhindert die Präzession um die lange Achse. Allgemeiner ausgedrückt untersucht Karoline Trägheitsbewegungen gekoppelter Systeme, die aus einem starren Körper bestehen mit einem Hohlraum, der vollständig mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt ist. Sie zeigt mathematisch, dass bei beliebigen Anfangsdaten mit endlicher kinetischer Energie, jede korrespondierende schwache Lösung im Laufe der Zeit in eine gleichmäßige Rotation übergeht. Darüber hinaus ist diese Rotation nur um die Trägheitsachse mit dem größeren Trägheitsmoment stabil. Anschaulich ist das bei einem symmetrischen Körper oft die geometrisch kürzeste Achse. Unabhängig von der Geometrie und den Parametern zeigt dies, dass - wenn das System genug Zeit hat - das Vorhandensein von Flüssigkeit Präzession des Körpers verhindert. Die theoretischen Untersuchungen wurden durch numerische Simulationen begleitet. In diesem Video zu einem Experiement eines mit Flüssigkeit gefülltem starrem Körpers wird der Effekt illustriert, dass wenn er zuerst um die lange Achse angedreht wird, in der freien Bewegung schnell zu einer Rotation um eine kurze Achse findet. Interessant ist auch der Fall, wenn sich das flüssige Material nicht ähnlich wie Wasser verhält, sondern ein sogenanntes Nichtnewtonsches Fluid ist. Hierfür gibt es viele Anwendungen - zum Beispiel, wenn auch elastische Verformungen möglich sind. Das heißt konkret: In den partiellen Differentialgleichungen treten noch mehr nichtlineare Terme auf als im Fall der Navier-Stokes Gleichungen für wasserähnliche Stoffe. Für diese Terme müssen neue Techniken entwickelt werden. Literatur und weiterführende Informationen
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| Advanced Mathematics | 12 Oct 2017 | 01:06:00 | |
Gudrun Thäter and Jonathan Rollin talk about their plans for the course Advanced Mathematics (taught in English) for mechanical engineers at the Karlsruhe Institute of Technology (KIT). The topics of their conversation are relevant in the mathematical education for engineers in general (though the structure of courses differs between universities). They discuss
For students starting an engineering study course it is clear, that a mathematical education will be an important part. Nevertheless, most students are not aware that their experiences with mathematics at school will not match well with the mathematics at university. This is true in many ways. Mathematics is much more than calculations. As the mathematical models become more involved, more theoretical knowledge is needed in order to learn how and why the calculations work. In particular the connections among basic ideas become more and more important to see why certain rules are valid. Very often this knowledge also is essential since the rules need to be adapted for different settings. In their everyday work, engineers combine the use of well-established procedures with the ability to come up with solutions to yet unsolved problems. In our mathematics education, we try to support that skills insofar as we train certain calculations with the aim that they become routine for the future engineers. But we also show the ideas and ways how mathematicians came up with these ideas and how they are applied again and again at different levels of abstraction. This shall help the students to become creative in their engineering career. Moreover seeing how the calculation procedures are derived often helps to remember them. So it makes a lot of sense to learn about proofs behind calculations, even if we usually do not ask to repeat proofs during the written exam at the end of the semester. The course is structured as 2 lectures, 1 problem class and 1 tutorial per week. Moreover there is a homework sheet every week. All of them play their own role in helping students to make progress in mathematics. The lecture is the place to see new material and to learn about examples, connections and motivations. In this course there are lecture notes which cover most topics of the lecture (and on top of that there are a lot of books out there!). So the lecture is the place where students follow the main ideas and take these ideas to work with the written notes of the lecture later on. The theory taught in the lecture becomes more alive in the problem classes and tutorials. In the problem classes students see how the theory is applied to solve problems and exercises. But most importantly, students must solve problems on their own, with the help of the material from the lecture. Only in this way they learn how to use the theory. Very often the problems seem quite hard in the sense that it is not clear how to start or proceed. This is due to the fact that students are still learning to translate the information from the lecture to a net of knowledge they build for themselves. In the tutorial the tutor and the fellow students work together to find first steps onto a ladder to solving problems on the homework. Gudrun and Jonathan love mathematics. But from their own experience they can understand why some of the students fear mathematics and expect it to be too difficult to master. They have the following tips:
In the lecture course, students see the basic concepts of different mathematical fields. Namely, it covers calculus, linear algebra, numerics and stochastics. Results from all these fields will help them as engineers to calculate as well as to invent. There is no standard or best way to organize the topics since there is a network of connections inbetween results and a lot of different ways to end up with models and calculation procedures. In the course in Karlsruhe in the first semester we mainly focus on calculus and touch the following subjects:
All of these topics have applications and typical problems which will be trained in the problem class. But moreover they are stepping stones in order to master more and more complex problems. This already becomes clear during the first semester but will become more clear at the end of the course. Literature and related information
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| Lilium | 05 Oct 2017 | 00:47:42 | |
Gudrun traf Patrick Nathen im April 2017 neben dem Flugfeld in Oberpfaffenhofen. Vielen ist dieser Ort ein Begriff, weil das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt dort seinen Sitz hat. Auch das von Patrick mitgegründete Startup Lilium Aviation hat dort seine Büros. Die Vision von Lillium ist es ein Anbieter wie Uber zu werden - allerdings für den Luftraum. Dafür wird ein senkrecht startender Jet entwickelt, der mit Elektromotoren relativ leise und mit wenig Platzbedarf beim Starten und Landen Personen in Ballungsgebieten schnell von Punkt zu Punkt transportiert: Mobility on demand. Die Fluggeräte starten senkrecht wie Hubschrauber und auf Reisehöhe werden sie zum Jet. Diesem Traum waren sie zum Zeitpunkt unseres Gespräches schon sehr nahe: Der Prototyp flog und befand sich im Zulassungsverfahren der Europäischen Agentur für Flugsicherheit (EASA). Neben den Fluggeräten muss auch die Infrastruktur entwickelt werden. Einerseits lassen sich die Helipads als Landeplätze in Metropolregionen nutzen, andererseits braucht es auch die Software, die Nutzer, Geräte und Landemöglichkeiten miteinander verbinden wird. In der Zukunft soll es sogar möglich werden, auf Piloten ganz zu verzichten, weil die Geräte vom Boden ferngesteuert werden. Statt - wie Gudrun an dem Morgen - über eine Stunde aus der Innenstadt von München nach Oberpfaffenhofen zu fahren, würde sich die Reisezeit für diese Strecke auf etwa 5 min verkürzen. Das klingt zu schön, um wahr zu werden - diese Idee müssen Menschen erst für möglich halten bevor es Normalität werden kann. Die Geschichte von Lilium begann 2013 in der WG von vier Ingenieurstudenten - Daniel Wiegand, Matthias Meiner, Patrick Nathen and Sebastian Born - mit einer "spinnerten" Idee. Alle haben an der Fakultät für Maschinenwesen der TU München studiert oder promoviert. Sehr schnell hatten sie einen ersten großen Investor gefunden, sind auf ein Team von 40 Leuten gewachsen (Stand April - inzwischen sind es schon 70) und nun wird der Zweisitzer im 1:1 Modell getestet. Das Folgeprodukt soll schließlich auch eine bemannte Zertifizierung bekommen und eine effektive Problemlösung für die Allgemeinheit werden. Das betrifft dicht besiedelte Metropolregionen genauso wie ländliche Regionen mit wenig ÖPNV-Optionen. Dafür haben sie in der zweiten Finanzierungsrunde 90 Millionen Euro Kapital eingeworben. Beim Starten und Landen gibt es auch in der von Lilium entwickelten Technologie Lärm wegen der Propeller, die für den Auftrieb sorgen. Da aber möglichst wenig Lärmentwicklung eine wichtige Voraussetzung dafür ist, dass sich die Technologie möglichst weit durchsetzen wird, wurde nach neuen Ideen zur Lärmvermeidung gesucht. Jetzt hat der Propeller eine Hülle. Dadurch wird weniger Schall abgestrahlt und die Effizienz erhöht. Im Reiseflug trägt sich der Flieger selbst. Um so einfach wie möglich zu bauen, muss man aber mit dem für Starten und Landen nötigen großen Motor irgendwie leben. In der Konstruktion gingen sie approximativ vor. Als ersten Schritt kann man die nötige Spannweite und Flügelfläche zusammen mit der Fluggeschwindigkeit durch vorläufige aerodynamische Faustformeln schätzen. Die zu erreichenden Widerstands- und Auftriebsbeiwerte legen schließlich auch das Profil der Flügel mehr oder weniger fest. Und die statische Stabilität kann mit Hilfe von Vorerfahrungen mit klassischen Flugobjekten gesichert werden. Zum Beispiel durch eine elliptische Auftriebsverteilung, die widerstandsarm ist, weil sie Turbulenzen an den falschen Stellen vermeidet. Für genauere Untersuchungen mussten diese Ideen und die gesamte Geometrie aber zunächst am Computer simuliert werden. Hier gibt es Berührungspunkte zur Arbeit an Gudruns Lehrstuhl, denn die genaue Strömungsrechnung erfordert moderne Softwarepakete auf dem Gebiet. Hinzu kommt, dass Batterien immer kritisch für die Sicherheit der Geräte sind. Sie heizen sich in der Start- und Landephase auf und das Kühlungskonzept muss wirklich clever sein. Die Anforderung ist, dass das Fluggerät im Winter in Schweden und im Sommer in Dubai funktioniert. Außerdem muss sichergestellt werden, dass eine brennende Batterie nicht zur Zerstörung des ganzen Gerätes führt. Schließlich sind auch Ergonomie und Raumluftkomfort keine unwichtigen Themen. Zum Beispiel müssen Böen durch den Flugcomputer abgefangen werden und hierfür ist Redundanz in den Triebwerken nötig. Literatur und weiterführende Informationen
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| Lokale Turbulenzen | 27 Sep 2017 | 01:24:56 | |
Nikki Vercauteren erforscht an der Freien Universität Berlin die mehrskalige Analyse von atmosphärischen Prozessen und traf sich mit Sebastian Ritterbusch in der Urania Berlin, um über ihre Forschung und ihre Experimente auf Gletschern zu sprechen. Zum Zeitpunkt der Aufnahme fand in der Urania das Banff Mountain Film Festival, des Banff Centre for Arts and Creativity aus Kanada, statt. Auf dem Campus des Banff Centre befindet sich auch die Banff International Research Station (BIRS), ein Forschungsinstitut und Tagungsort nach Vorbild des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach, das sich der mathematischen Forschung und internationalen Zusammenarbeit verschrieben hat, und welches Nikki Vercauteren Anfang des Jahres zu einem Workshop besuchen konnte. Das Forschungsgebiet der Meteorologie umfasst viele Phänomene, von denen einige durch Fluiddynamik beschrieben werden können. Dabei geht es um eine große Menge von Skalen, von der globalen Perspektive, über kontinentale Skalen zur Mesoskala im Wetterbericht und der Mikroskala zu lokalen Phänomenen. Die Skalen bilden sich auch in den Berechnungsmodellen für die Wettervorhersage wieder. Das Europäische Zentrum für mittelfristige Wettervorhersage (EZMW) betrachtet die globale Perspektive mit Hilfe von Ensemblevorhersagen. Von dort verfeinert das aus dem lokalen Modell des Deutschen Wetterdienstes (DWD) entstandene COSMO Modell die Vorhersage auf die europäische und schließlich nationale Ebenen. Hier geht es um die sehr lokale Analyse von Windgeschwindigkeiten, die bis zu 20mal pro Sekunde gemessen werden und damit die Analyse von lokalen Turbulenzen bis zum natürlichem Infraschall ermöglichen. Die Erfassung erfolgt mit Ultraschallanemometer bzw. ultrasonic anemometers, wo bei manchen Typen durch die Erfassung des Doppler-Effekts bewegter Staubteilchen die Bewegungsgeschwindigkeit der Luft durch mehrere Sensoren räumlich bestimmt wird. Teilweise werden auch Laser-Anemometer eingesetzt. Im Rahmen ihrer Promotion in Umweltwissenschaften an der École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) bekam Sie die Gelegenheit selbst vor Ort eine Messanlage auf einem Gletscher mit aufzubauen und in Stand zu halten. Der See- und Landwind sind typische Phänomene in der mikroskaligen Meteorologie, die Nikki Vercauteren zu ihrer Promotion am Genfersee zur Analyse von turbulenten Strömungen von Wasserdampf untersucht hat. Mit mehreren Laser-Doppler-Anemometern in einer Gitter-Aufstellung konnte sie so die Parametrisierung einer Large Eddy Simulation dadurch testen, in dem sie die im Modell angesetzte Energie in den kleinen Skalen mit den tatsächlichen Messungen vergleichen konnte. Kernpunkt der Betrachtung ist dabei das Problem des Turbulenzmodells: Als Verwirbelung in allen Skalen mit teilweise chaotischem Verhalten ist sie nicht vorhersagbar und kaum vollständig mathematisch beschreibbar. Sie spielt aber wegen der wichtigen Eigenschaften der Vermischung und Energietransfers eine elementare Rolle im Gesamtsystem. Glücklicherweise haben Turbulenzen beobachtete statistische und gemittelte Eigenschaften, die modelliert und damit im gewissen Rahmen und diesem Sinne mit Hilfe verschiedener Modelle durch identifizierte Parameter simuliert werden können. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Betrachtung der Grenzschicht über dem Erdboden, die zum einen durch die Sonneneinstrahlung besonders durch die Aufwärmung und Abkühlung der Erdoberfläche beinflusst wird und gleichzeitig den Bereich beschreibt, wo das bewegte Fluid Luft auf die stehenden Erde reagiert. Eine meteorologische Eigenschaft der unteren Grenzschicht ist das theoretische logarithmische Windprofil, das aber bei Sonneneinstrahlung oder Nachts durch Verformung der Turbulenzen Korrekturterme erforderlich macht. In einer Temperaturinversion wird die Grenzschicht stabiler und es bildet sich weniger Turbulenz aus, wodurch sich Schadstoffe auch weniger verteilen können. In diesen Wetterlagen kann sich durch den fehlenden Luftaustausch im Stadtgebiet leichter Smog bilden. Entgegen der Theorie kann es interessanterweise trotz stabiler Schichtung zu Turbulenzen kommen: Ein Grund dafür sind Erhebungen und Senken des Bodens, die Luftpakete beeinflussen und damit lokale Turbulenzen erzeugen können. Eine besondere Fragestellung ist hier die Frage nach der Intermittenz, wann ein stabiles dynamisches System chaotisch werden kann und umgekehrt. Ein anschauliches Beispiel von Intermittenz ist das Doppelpendel, das von einem sehr stabilen Verhalten plötzlich in chaotisches Verhalten umschwenken kann und umgekehrt: Trajektorie eines Doppelpendels Leider ist bisher die Intermittenz in der Wettervorhersage nicht alleine aus der Theorie zu berechnen, jedoch kann man die Richardson-Zahl bestimmen, die den Temperaturgradienten in Verhältnis zur Windscherung stellt. Dieses Verhältnis kann man auch als Verhältnis der Energieverteilung zwischen kinetischer Bewegungsenergie und potentieller Wärmeenergie sehen und daraus Schlüsse auf die zu erwartende Turbulenz ziehen. Als ein dynamisches System sollten wir ähnlich wie beim Räuber-Beute Modell eine gegenseitige Beeinflussung der Parameter erkennen. Es sollte hier aus der Theorie auch eine kritische Zahl geben, ab der Intermittenz zu erwarten ist, doch die Messungen zeigen ein anderes Ergebnis: Gerade nachts bei wenig Turbulenz entstehen Zustände, die bisher nicht aus der Theorie zu erwarten sind. Das ist ein Problem für die nächtliche Wettervorhersage. In allgemeinen Strömungssimulationen sind es oft gerade die laminaren Strömungen, die besonders gut simulierbar und vorhersagbar sind. In der Wettervorhersage sind jedoch genau diese Strömungen ein Problem, da die Annahmen von Turbulenzmodellen nicht mehr stimmen, und beispielsweise die Theorie für das logarithmische Windprofil nicht mehr erfüllt ist. Diese Erkenntnisse führen auf einen neuen Ansatz, wie kleinskalige Phänomene in der Wettervorhersage berücksichtigt werden können: Die zentrale Frage, wie die in früheren Modellen fehlende Dissipation hinzugefügt werden kann, wird abhängig von der beobachteten Intermittenz mit einem statistischen Modell als stochastischen Prozess beantwortet. Dieser Ansatz erscheint besonders erfolgsversprechend, wenn man einen (nur) statistischen Zusammenhang zwischen der Intermittenz und der erforderlichen Dissipation aus den Beobachtungen nachweisen kann. Tatsächlich konnte durch statistisches Clustering und Wavelet-Analyse erstmalig nachgewiesen werden, dass im bisher gut verstanden geglaubten so genannten stark stabilen Regime es mehrere Zustände geben kann, die sich unterschiedlich verhalten. Für die Entwicklung der Wavelet-Transformation erhielt Yves Meyer den 2017 den Abelpreis. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation berücksichtig die Wavelet-Transformation z.B. mit dem Haar-Wavelet die von der Frequenz abhängige zeitliche Auflösung von Ereignissen. So können Ereignisse mit hohen Frequenzen zeitlich viel genauer aufgelöst werden als Ereignisse mit tiefen Frequenzen. Das von Illia Horenko vorgeschlagene FEM-BV-VARX Verfahren kann nun mit den Erkenntnissen angewendet werden, in dem die verschiedenen Regimes als stochastische Modelle berücksichtigt und durch beobachtete bzw. simulierte externe Einflüsse gesteuert werden können. Darüber hinaus konnten weitere interessante Zusammenhänge durch die Analyse festgestellt werden: So scheinen im stabilen Regime langsame Wellenphänomene über mehrere Skalen hinweg getrennt zeitliche schnelle und lokale Turbulenzen auszulösen. Andere Phänomene verlaufen mit stärkeren Übergängen zwischen den Skalen. Aus der Mathematik ist Nikki Vercauteren über die Anwendungen in der Physik, Meteorologie und Geographie nun wieder zurück in ein mathematisches Institut zurückgekehrt, um die mathematischen Verfahren weiter zu entwickeln. Literatur und weiterführende Informationen
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| Raumklima | 14 Sep 2017 | 00:16:44 | |
Gudrun hat sich auf den Weg an ihre Alma Mater nach Dresden gemacht, um mit einem ehemaligen Kommilitonen zu sprechen, der dort als Diplom-Mathematiker schon seit 30 Jahren unter Ingenieuren Strömungssimulation betreibt. Markus Rösler hat von 1982-87 an der TU Dresden Mathematik studiert. Im Industriepraktikum im Rahmen des Studiums kam er in Berührung mit der damaligen Sektion Energieumwandlung und stieg dort für drei Monate in die Strömungssimulation ein. Nach dem Studium wechselte er dauerhaft auf eine Stelle im Institut für Srömungsmechanik in der damaligen Sektion Energieumwandlung, promovierte zum Dr.-Ing. und arbeitet seitdem neben der Lehre für Maschinenbauer an Projekten mit, die Strömungen in Gebäuden und in Räumen besser vorhersagen und analysieren zu können. Inzwischen an der Fakultät Maschinenwesen, Professur für Gebäudeenergietechnik und Wärmeversorgung. Gudrun und Markus teilen die Faszination für Strömungen, die fast schon philosophisch tief greift sowohl in der Beschreibung der Beobachtungen als auch im Verständnis der Phänomenologie. Das Tagesgeschäft in Markus' Alltag an der TU Dresden sind die Erforschung der Wirkung von Strömung im Raum auf Energiebedarf und thermische Behaglichkeit. Das erfolgt einerseits in konkreten Projekten - andererseits aber auch in grundlegenden Überlegungen für Situationen in Typenräumen in typischen Situationen. So entstand bereits ein Katalog, in dem sich Aussagen finden lassen, wie gebaut oder umgebaut werden kann, um die Energie effektiver zu nutzen. Ein Problem in der numerischen Simulation ist, dass die Strömung in Innenräumen in der Regel eine nicht vollständig ausgebildete turbulente Strömung ist. D.h. die Modellgleichungen sind jeweils - optimistisch ausgedrückt - im Grenzfall der Gültigkeit, da es weder laminar noch wirklich voll turbulent strömt. Die geometrische Auflösung ist dabei auch ganz kritisch. In einem Plattenheizkörper muss beispielsweise die genaue Luftströmung um den Heizkörper mit all seinen Lamellen berücksichtigt werden. Außerdem die Wasserströmung im Heizkörper. Die Strömungen werden in der Arbeitsgruppe in der Regel mit einer Reynolds-Mittelung der Navier-Stokes Gleichungen gerechnet, die mit geeigneten Turbulenzmodellen gekoppelt wird. Hier ergibt sich jedoch in der Regel ein Schließungsproblem, d.h. es gibt zu wenige Gleichungen für die Zahl der Variablen. Diese Lücke wird mit gewählten Parametern, die auf Messungen beruhen, geschlossen. Alle Rechnungen sollten etwa in Echtzeit erfolgen. Dafür sind die eben genannten Methoden gut geeignet. Andererseits werden immer genauere Rechnungen nötig, die mit den bisher genutzten Mittelungen nicht möglich sind. Dafür arbeiten sich Markus und seine Kollegen in neue Methoden ein - wie z.B. Lattice Boltzmann Modelle. Aber es ist noch sehr schwierig, mit diesen neuen und genaueren Methoden die geforderten Rechengeschwindigkeiten zu erreichen. Ein konkretes Beispiel aus der aktuellen Arbeit sind Simulationen für Dialyseräume. Es geht darum, Heizung, Lüftung und Kühlung für maximale thermische Behaglichkeit auszulegen. Dafür wird die Geometrie das Raumes, der Geräte und der Personen im Computer genau nachgebildet. Die Energiewende fordert von der Forschung nachhaltige Lösungen für die Wärmeversorgung und die Elektroenergietechnik. Im Lehrstuhl werden hierfür z.B. regionale virtuelle Kraftwerke untersucht. Für Markus geht es jedoch im engeren Sinne eher um die effektive Nutzung der Energie. Konkret werden in der nächsten Zeit instationäre Szenarien für thermische Behaglichkeit untersucht. Probanden können in einem Versuchsraum dem Anheben und Absenken von Temperaturen ausgesetzt werden und die Frage beantworten: Wann wird es unbehaglich? Es ist möglich Puffer für Wärme/Kälte mit Hilfe von Technik oder dem Gebäude selbst zu füllen und so zu nutzen, wie die Erkenntnisse aus der Probandenforschung es sinnvoll erscheinen lassen. An diesen Fragestellungen ist natürlich besonders interessant, dass eine Brücke zu Gesundheit und (Arbeits-)Medizin geschlagen wird. Als Mathematiker hat Markus unter den Energietechnikern zunächst eine steile Lernkurve absolviert, aber er findet nach wie vor die Ansicht auf Probleme von zwei Seiten - mathematisch und ingenieurtechnisch - besonders hilfreich. Die von den Ingenieuren benutzen numerischen Modelle sind zwar vereinfacht - mitunter sogar stark vereinfacht - aber doch erstaunlich zutreffend und lösen tatsächlich die Probleme sehr gut. Literatur und weiterführende Informationen
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| Gender und Mathematik | 10 Aug 2017 | 00:57:59 | |
Gudrun Thäter hat sich an der FU Berlin zu einem Gespräch über Geschlecht und Mathematik mit Anina Mischau & Mechthild Koreuber verabredet. Anina Mischau leitet dort im Fachbereich Mathematik und Informatik die Arbeitsgruppe Gender Studies in der Mathematik. Dies ist in Deutschland die einzige derartige Stelle, die innerhalb der Mathematik angesiedelt ist. Sie hat dort vielfältige Aufgaben in Forschung und Lehre mit einem gewissen Schwerpunkt in der Ausbildung für das Lehramt. Dort hilft sie, einen Grundstein dafür zu legen, dass zukünftige Mathelehrkräfte für die Bedeutung der sozialen Kategorie Geschlecht bei der Vermittlung und beim Lernen von Mathematik sensibilisiert werden und lernen, einen gendersensiblen Mathematikunterricht zu gestalten. Auf Vorschlag von Anina Mischau hatten wir auch die zentrale Frauenbeauftragte der FU - Mechthild Koreuber - herzlich zu unserem Gespräch eingeladen. Auch sie ist studierte Mathematikerin und hat über Mathematikgeschichte promoviert. Uns alle bewegen solche Fragen wie:
In der wissenschaftlichen Arbeit hierzu verfolgen die zwei Gesprächspartnerinnen von Gudrun vier unterschiedliche Forschungsrichtungen:
Das Bild der Mathematik als von Männern entwickelte und betriebene - also männliche - Disziplin ist verquickt mit der Vorstellung, was von uns als Mathematik eingeordnet wird, aber auch wem wir mathematische Fähigkeiten zuschreiben. Automatisch werden innerhalb dieses Ideen- und Personennetzes Frauen bei gleichem Potential gegenüber ins Bild passenden Männern benachteiligt und ihr Potential kommt nicht so gut zur Entfaltung. Daneben feiern längst überwunden geglaubten Stereotype fröhliche Urständ, wie am 1.2. 2017 im ZEIT-Artikel Lasst Mädchen doch mit Mathe in Ruhe. Nicht ganz unschuldig am Abschied der Frauen von der Mathematik sind sicher auch unsere häufig steinzeitlichen Unterrichts-Konzepte auf der Hochschulebene, denn Mathematik ist nicht - wie angenommen - überkulturell. Wenn wir Mathematik betreiben, neue Ergebnisse gewinnen oder Mathematik vermitteln sind wir eingebunden in soziale und kulturelle Produktionszusammenhänge wie Kommunikationsprozesse, die u.a. auch durch die soziale Kategorie Geschlecht mit geprägt werden. Außerdem ist wie Mathematik publiziert und unterrichtet wird nicht wie Mathematik entsteht. Die Freude und Neugier an Mathematik wird in der Ausbildung nicht in den Vordergrund gestellt. Statt dessen ist Mathematik gerade für zukünftige Lehrkräfte oft mit negativen Gefühlen und einem eher eindimensionalen (und vielleicht auch stereotypen) Verständnis von Mathematik besetzt, was später in der eigenen schulischen Praxis unbeabsichtigt an Kindern und Jugendliche als Bild von Mathematik weitergegeben wird. Um diesen Teufelskreis aufzubrechen braucht es mehr Freiräume und auch neue Konzepte und Ansätze in der Hochschullehre. Wir Mathematiker und Mathematikerinnen sind für das Bild der Mathematik in der Gesellschaft verantwortlich. Ganz besonders in der Ausbildung für das Lehramt können wir hier starken Einfluss nehmen. Dafür müssen wir besser verstehen: Wo und wie werden Ideen ausgeschlossen, die dem engen vorherrschenden Bild von Mathematik nicht entsprechen? Wieso ist es ok, öffentlich auf Distanz zu Mathematik zu gehen (und damit zu kokettieren: In Mathe war ich immer schlecht) oder "Mathematiker als Nerd" oder halb verrückte Menschen darzustellen? Dieses Bild gehört neu gezeichnet durch allgemeinverständliches Reden über Mathematik und ihre Rolle für uns alle. Darüber hinaus ist und bleibt Mathematik eine soziale Konstruktion - das ist nicht immer leicht zu akzeptieren. Im Kontext der Geschlechterforschung werden Geschlechterasymmetrien und Geschlechterunterschiede im Fach Mathematik als Produkt einer Wechselwirkung zwischen der sozialen Konstruktion von Geschlecht und der sozialen Konstruktion von Mathematik gesehen werden, die in der Vermittlung der Mathematik (im schulischen Unterricht wie in der Hochschullehre) reproduziert wird. Die soziale Konstruktion von Mathematik und ihre Wechselwirkung mt anderen sozokulturellen Konstruktionen kann aber auch jenseits der Diskurse in der Geschlechterforschung verdeutlicht werden - z.B. an der Zeit des Nationalsozialismus. Offensichtlich entschieden damals äußere Faktoren darüber, wer Mathematik machen und vermitteln darf und es wird der oft verdeckte (oder verleugnete) kulturelle und gesellschaftliche Einfluss auf die Disziplin sichtbar. Es wäre wünschenswert, wenn man auch für solche Themen Qualifikationsarbeiten in der Mathematik als fachintern ansehen lernen würde. Gemeinsam beschreitet man an der FU neue Wege: In Anträgen für Forschungsmitteln werden auch Projekte für wissenschaftliche Untersuchungen in den Forschungsclustern mitgeplant, die verstehen wollen wie und warum Frauen in der Disziplin bleiben oder gehen, was die Wissenschaftler (und Wissenschaftlerinnen) für ihren Nachwuchs tun und wie sich das auf Diversität auswirkt. Leider wird Mathematikphilosophie und - geschichte derzeit nicht als Teil der Disziplin Mathematik wahrgenommen. Es fehlt der Respekt - das Gefühl des Sprechens auf gleicher Augenhöhe. Ein Wunsch wäre: In naher Zukunft einen Workshop im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach zum Thema Mathematik neu Denken zu organisieren. Das wäre eine Art Lackmustest, ob Bereitschaft zum Wandel in der Mathematik besteht. Im Januar gab es immerhin schon einen Mini-Workshop zum Thema Frauen in der Mathematikgeschichte. Literatur und weiterführende Informationen
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In Memoriam: Maryam Mirzakhani, 1977-2017, Mathematician, Fields Medalist: Scientist, collaborator, colleague, mentee, expert, mentor, teacher, working mom, wife, daughter, friend, professor, immigrant, math doodler, woman in science | |||
| Moving Asymptotics | 20 Jun 2021 | 00:49:42 | |
Gudrun spricht in dieser Folge mit Attila Genda über sein Praktikum bei Dassault Systèmes (Standort Karlsruhe), das er m Frühjahr und Sommer 2020 im Rahmen seines Masterstudiums Technomathematik absolviert hat. Bei Dassault Systèmes in Karlsruhe wird schon seit einigen Jahrzehnten Strukturoptimierung betrieben. Wir haben dort auch schon einige Podcastfolgen zu den mathematischen Hintergründen und den aktuellen Weiterentwicklungen aufgenommen (s.u.). Für die numerische Lösung der betrachteten partiellen Differentialgleichungen werden Finite Elemente Verfahren eingesetzt. Grundlage einer jeden Strukturoptimierung ist ein mathematisches Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Dazu werden eine Zielgröße und mehrere Nebenbedingungen definiert. Die Zielgröße ist dabei abhängig von zu bestimmenden Variablen, die als Unbekannte oder Optimierungsparameter bezeichnet werden. Die Nebenbedingungen sind Bedingungen an die Variablen, die erfüllt sein müssen, damit die Löung ”zulässig“ ist. Das Ziel der Optimierung ist nun die Minimierung der Zielgröße unter Einhaltung der Nebenbedingungen. Um konkrete Probleme zu lösen, gibt es eine Bandbreite verschiedener Löungsmöglichkeiten, die jeweils auf die Aufgabenstellung zugeschnitten werden. Alle Löser bzw. Minimierungsprobleme haben jedoch gemein, dass sowohl die Konvexität der Zielfunktion als auch die Konvexität des Designgebiets von fundamentaler Bedeutung für die Lösbarkeit des Problems sind. Strukturoptimierung verändert die Form eines Bauteils oder einer Baugruppe so, dass weniger Material nötig ist, aber vorgegebene Festigkeitsanforderungen (z.B. Spannungen, denen das Teil typischerweise ausgesetzt ist) erfüllt sind. Dabei darf sich die Materialverteilung frei in approximativen Schritten verändern und ist nicht durch eine Vorplanung der prinzipiell einzuhaltenden äußeren Form begrenzt. Dies führt z.B. zur Entstehung von Löchern in der Form des Bauteils, was die Topologie auch im mathematischen Sinne verändert. Das ist kompliziert und einfach zugleich - je nachdem, unter welchem Blickwinkel man es betrachtet. Die Einfachheit ergibt sich aus der Tatsache, dass keine Zellen aus dem numerischen Netz der Numerik entfernt werden. Man setzt einfach eine Variable, die angibt, ob dort Material vorhanden ist oder nicht. Anstatt dies jedoch mit binären Werten zu tun (d.h. Material "an" oder "aus"), ändert man die Materialdichte der Zelle kontinuierlich zwischen [0, 1]. Dabei steht 0 für kein Material und 1 für die volle Materialmenge. Um numerische Probleme zu vermeiden wird statt 0 eine kleine Zahl verwendet. Da diese Modellierung im Allgemeinen zu physikalisch nicht interpretierbaren Ergebnissen führt, bei denen die Zellen weder leer sind noch die volle Menge an Material enthalten, müssen wir sicherstellen, dass der Optimierer dazu neigt, Ergebnisse zu finden, bei denen die Anzahl der Zellen mit mittlerer Dichte minimal ist. Dazu bestrafen wir solche Konstruktionen. Diese Verfahren heißen Solid Isotropic Material with Penalization Method - kurz SIMP-Methode. Strukturoptimierungsaufgaben enthalten in der Regel eine sehr große Anzahl von Designvariablen, in der Praxis sind es nicht selten mehrere Millionen von Variablen, die die Zielfunktion beeinflussen. Demgegenüber ist die Zahl der Nebenbedingungen viel kleiner - oft gibt es sogar nur ein paar wenige. Da Strukturoptimierungsprobleme im Allgemeinem keine konvexen Promleme sind und oft auch keine linearen Probleme, ist die Auswertung des Zielfunktionals und der Nebenbedingungen sehr rechenintensiv. Deshalb wurden spezielle Algorithmen entwickelt, die besonders geeignet für die Lösung solcher Probleme sind, weil sie vermeiden können, dass bis zur Konvergenz eine große Anzahl von Funktionsauswertungen stattfinden müssen. Der wahrscheinlich meist verbreitete Algorithmus heißt Method of Moving Asymptotes (MAA). Er wird in der Podcastepisode diskutiert. Die Aufgabe von Attila in seiner Zeit des Praktikums war es nämlich, diese Methode zu verallgemeinern, dann zum implementieren und die Implementierung zu testen. Die ursprünglich angewandte MAA-Methode, die von Svanberg vorgeschlagen wurde, verwendet nur einen sehr einfachen Ansatz zur Behandlung der Länge des Intervalls zwischen der unteren und oberen Asymptote. Literatur und weiterführende Informationen
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| Bézier Stabwerke | 27 Jul 2017 | 00:53:00 | |
Arne Rick (@Couchsofa) war schon ein häufiger, aber ungenannter Gast im Modellansatz Podcast: Als DJ war er auf den Aufnahmen von der aktuellen und früheren Gulasch-Programmiernächten im Hintergrund zu hören. Außer für Musik hat Arne auch ein großes Faible für Mathematik und Informatik und befasst sich im Zuge seiner von Prof. Marcus Aberle betreuten Bachelorarbeit zum Bauingenieurwesen an der Hochschule Karlsruhe mit Bezierkurven für Stabwerke. Stabwerke sind Modelle für Strukturen in Bauwerken und eine Lösung für ein System von Stabwerken hilft im konstruktiven Bauingenieurwesen, die Aufbauten in ihren Bemessungen und Anforderungen auszulegen und erforderliche Eigenschaften festzulegen. Die Darstellung als Stabwerke ist im Sinne eines Fachwerks eng verknüpft mit dem Prinzip von Finite Elementen, da diese in gewissen Anwendungen als Stabwerke und umgekehrt interpretiert werden können. Weiterhin können Stabwerke mit Hilfe von finite Elementen innerhalb der Stäbe genauer bestimmt bzw. verfeinert werden. Die Betrachtung des Stabwerks beginnt mit der Struktur und den Einwirkungen: Hier ist spielt das Semiprobabilistische Teilsicherheitsbeiwerte-System eine besondere Rolle, da es die möglichen Einwirkungen auf die Bauteile und damit die Gesamtanalyse probabilistisch erfassbar macht. Man unterscheidet hier nicht mehr so stark zwischen dem Bauen im Bestand, wo viele Nebenbedingungen zwar bekannt, aber die Eigenschaften der verbleibenden Bestandteile unsicher sind, und dem Aufbau eines Neubaus, wo es jeweils für die Bauingenieure gilt, die Vorgaben aus der Architektur konstruktiv, berechnend, planend und organisatorisch unter Berücksichtigung des möglichen Zeit- und finanziellen Rahmens, verfügbarer Materialien, Technik, Mitarbeiter und Bauverfahren sicher umzusetzen. Speziell in der Betrachtung der Stabwerke können die Fälle der statistischen Über- und Unterbestimmung des Bauwerks auftreten, wo Überbestimmung grundsätzlich zu Verformungen führt, eine Unterbestimmung andererseits kein funktionsfähiges Bauwerk darstellt. Weiterhin ändert jede Anpassung von beispielsweise der Tragfähigkeit eines Bauteils auch gleich zur Änderung des gesamten Stabwerks, da ein stärkerer Stab oft auch mehr wiegt und sich eventuell auch weniger verformt. Außerdem ziehen in einem statisch überbestimmten System die steiferen Elemente die Lasten an. So ist es häufig, eher unintuitiv, von Vorteil Bauteile zu schwächen um eine Lastumlagerung zu erzwingen. Dies führt in der Auslegung oft zu einem iterativen Prozess. Die Darstellung eines Stabes oder Balkens ist dabei eine Reduzierung der Wirklichkeit auf ein lokal ein-dimensionales Problem, wobei die weiteren Einwirkungen aus der Umgebung durch Querschnittswerte abgebildet werden. Die Voute ist ein dabei oft auftretendes konstruktives Element in der baulichen Umsetzung eines Tragwerks, die in der Verbindung von Stäben eine biegesteife Ecke bewirkt und in vielen Gebäuden wie beispielsweise dem ZKM oder der Hochschule für Gestaltung in Karlsruhe zu sehen sind. In der Modellierung der einzelnen Stäbe können verschiedene Ansätze zum Tragen kommen. Ein Standardmodell ist der prismatische Bernoulli Biegestab, das mit Differentialgleichungen beschrieben und allgemein gelöst werden kann. Daraus entstehen Tabellenwerke, die eine Auslegung mit Hilfe dieses Modell ermöglichen, ohne weitere Differentialgleichungen lösen zu müssen. Eine häufige Vereinfachung ist die Reduzierung des Problems auf zwei-dimensionale planare Stabwerke, die in den meissten Anwendungsfällen die relevanten Anforderungen darstellen können. Die Stäbe in einem Stabwerk können nun unterschiedlich miteinander verbunden werden: Eine Möglichkeit ist hier ein Gelenk, oder in verschiedene Richtungen und Dimension festlegte oder freie Lager, also Festlager oder Loslager zwischen Stäben oder einem Stab und dem Boden. Je nach Wahl der Verbindung entstehen in diesem Punkt eine unterschiedliche Anzahl von Freiheitsgraden. Für die praktische Berechnung werden Lager oft auch verallgemeinert, in dem die Verbindung über eine Feder modelliert wird: Hier haben ideale Loslager eine Federkonstante von 0, während die Federkonstante von idealen Festlagern gegen unendlich geht. Mit allen Werten dazwischen können dann reelle Lager besser beschrieben werden. In vereinfachter Form führt die Berechnung eines Stabwerks mit idealisierten unbiegbaren Balken mit den Endpunkten der Balken als Variablen und den Verknüpfung der Balken als Gleichungen direkt auf ein relativ einfaches lineares Gleichungssystem. Da sich in Realität alle Balken unter Last merklich verbiegen (es sei denn, sie sind vollkommen überdimensioniert), müssen sie grundsätzlich mit Steifigkeit modelliert werden, um belastbare Ergebnisse zu erhalten. Aber auch im erweiterten Modell wird der Stab durch eine Matrix linear beschrieben, nur dass hier auch die Last eine Rolle spielt und über das Elastizitätsmodul, Fläche und Trägheitsmoment die Verbiegungen abbilden kann. So ergibt das erweiterte Modell ebenfalls ein lineares Gleichungssystem, nur mit mehr Variablen und Parametern, die das System beschreiben und Angaben zur Verbiegung und Lastverteilung machen. Nach der gewöhnlichen Berechnung des Stabwerks hat sich Arne nun mit der Frage beschäftigt, ob die Stäbe mit Biegezuständen mit Bezierkurven besonders sinnvoll dargestellt werden können. In der Konstruktion erfahren Bézierkurven eine große Beliebtheit, da sie über Start- und Endpunkt mit zwei Kontrollpunkten sehr intiutiv zu steuern sind. Oft kommen oft Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) zum Einsatz, die als verallgemeinerte Bézier-Splines aufgefasst werden können. Das Grundproblem besteht darin, dass die Stäbe im erweiterten Modell durch Einführung der Biegezustände und Elastizität weder ihre Länge behalten, noch eine eindeutige Ausrichtung durch unterschiedliche Winkel an den Enden erhalten. Einen solchen Widerspruch versucht man bei Finiten Elementen entweder durch eine feinere Diskretisierung und damit durch eine Abbildung durch Geradenstücke oder durch eine Abbildung mit Polynomen höherer Ordnung zu ermöglichen und das Problem auf dem verfeinerten Modell zu lösen. Der dritte Ansatz ist hier, die Ergebnisse durch die in der Konstruktion bewährte Darstellung über Bezier-Kurven qualitativ anzunähern, um die Modellerfahrung aus der Konstruktion in der Darstellung der Lösung zu nutzen. Die Umsetzung erfolgt in Python, das mit den Bibliotheken NumPy und SciPy eine Vielzahl hilfreicher und effizienter Funktionen besitzt. Literatur und weiterführende Informationen
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GPN17 Special
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| Mikroökonomik | 13 Jul 2017 | 00:38:17 | |
Ein Gespräch mit Oliver Beige über dynamische Prozesse in der Mikroökonomik: Über Einfluss, Ideenpropagation und Nachbarschaftseffekte. Oliver Beige und Gudrun Thäter haben sich online über die große gemeinsame Schnittmenge im Musikgeschmack gefunden. Obwohl Oliver in Berlin lebt und Gudrun in Karlsruhe ist es schon vorgekommen, dass sie im gleichen Konzert waren ohne das rechtzeitig zu bemerken, weil sie sich persönlich noch nicht kannten. Im vergangenen Jahr fand Gudrun dann interessante Überlegungen zur aktuellen Anwendbarkeit der Ideen und Modelle von Malthus, die Oliver veröffentlicht hatte. Diese erwiesen sich als spannende Lektüre für die Studierenden der Modellbildungsvorlesung, die Gudrun gerade hielt. Damit war der Plan geboren, dass man sich nicht nur unbedingt einmal persönlich kennenlernen müsste, sondern bei nächster Gelegenheit auch für den Podcast einmal unterhalten sollte. Diese Gelegenheit bot sich im Juli 2017 nach einem Freiluftkonzert in der Kulturbrauerei in Berlin. Oliver ist Ökonom. Er hat 1993 in Karlsruhe sein Diplom in Wirtschaftsingenieurwesen erworben und sich anschließend in den Staaten umgesehen. Dort hat er 1997 einen Master of Business Administration (University of Illinois) abgeschlossen und sich schließlich im Rahmen seiner Promotion an der UC Berkeley mit der mathematischen Modellierung von Ideenpropagation und Entscheidungsprozessen in Netzwerken beschäftigt. Er hat dabei auch zwei Wellen von Innovation im Silicon Valley hautnah miterlebt. Was so einfach und grundlegend klingt ist tatsächlich eine sehr schwierig zu beantwortende Frage: Wie beeinflussen sich Mitglieder in einer Gruppe gegenseitig beim Finden von Entscheidungen? Während Soziologen gerne über gruppendynmische Prozesse diskutieren, arbeiten Ökonomen traditionell unter der vereinfachten Annahme, dass Entscheidungen als unabhängig voneinander getroffen werden - gestützt auf einer rein rationalen, isolierten Nutzenkalkulation. Erst seit Kurzem wird diese Annahme in der Ökonmie durch neue Modelle in Frage gestellt. Was jedoch modellhaft einen Zugang zum dynamischen Entscheidungsprozess in einer Gruppe verschaffen kann - in dem natürlich ganz viel Rückkopplung eingebaut werden muss - sind neuronale Netze - z.B. die Boltzmann-Maschine. Diese hatte Oliver in Karlsruhe kennen- und schätzen gelernt. Sie bilden ein stochastisches Feedback-Netzwerk, in dem man auch untersuchen kann, wie man zu einem Equilibrium kommen kann. Wie läuft denn so eine kollektive Entscheidung ab? Vorab hat jede/r in der Gruppe Präferenz - z.B. für einen bestimmten Film, den er oder sie gern in Begleitung anderer in der Gruppe sehen würde. Darüber wird gesprochen und schließlich teilt sich die Gruppe auf in Untergruppen, die im Kino den gleichen Film sehen. Im Gespräch werden die Präferenzen der anderen jeweils gewichtet in die eigene Entscheidung einfließen. Mathematisch wird das ausgedrückt in einer Nutzenfunktion, deren Wert maximiert wird. In der evolutionären Spieltheorie kann dieses dann als ein stochastischer Prozess modelliert werden, der mittels einer Potentialfunktion die Meinungsbildung der Gruppe als Equilibriumspfad darstellt. Von einem mehr abstrakten Level stellen sich auch die Fragen an ein so gewonnenes Equilibrium: Zur Darstellung dieser Prozesse wandelte Oliver den traditionellen Entscheidungsbaum unter Ausnutzung der Markow-Eigenschaft in einen Entschediungsgraphen um. Dies war damals ein komplett neuer Ansatz und hat sich auch im großen Maßstab bis heute nicht durchgesetzt. Neu an der Arbeit war auch, dass zum ersten Mal im Zusammenhang der Netzwerkeffekte die Struktur des Netzwerkes betrachtet wurde. In der ursprünglichen Konzeption in der Arbeit von Michael Katz und Carl Shapiro wurde die Heterogenität des Netzwerkes noch explizit ausgeschlossen. Wie wichtig Nachbarschaftseffekte sind, weiß man in der Innovationsökonomik aber schon seit Zvi Griliches die schrittweise Verbreitung des ertragreicheren Hybridmaises in den USA über Mundpropaganda erforscht hatte. Diese Form der Ideenpropagation ist auch ein wichtiger Baustein in Jared Diamonds "Guns, Germs, & Steel" (das den Pulitzerpreis gewann). Großen Einfluss auf Olivers Arbeit haben die Arbeiten des Pioniers der Spieltheorie Thomas Schelling (Nobelpreisträger 2005), der so wichtige Begriffe wie Nachbarschaftseffekte, kritische Masse und das Konzept des Tipping points einführte. Heute setzt Oliver seine Kenntnisse über dynamische Prozesse bei Entscheidungen über Investitionen in Startups, insbesondere im Bereich der verknüpften Mobilität und der Verbreitung neuer Technologien wie z.B. Blockchain, ein. Literatur und weitere Informationen
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| Shannon Information | 06 Jul 2017 | 00:35:20 | |
Paul Darscheid gehört der KIT-Hochschulgruppe Engineers without borders an und arbeitet dort konkret in einer Projektgruppe mit, die im ländlichen Raum von Äthopien einen Brunnen bohrt. Um dafür die Nachhaltigkeit des Grundwasserzuflusses zu klären, suchte er den Kontakt zu Uwe Ehret vom Institut für Wasser und Gewässerentwicklung, Bereich Hydrologie. Die spannenden Themen dort fesselten ihn so sehr, dass schließlich auch seine Masterarbeit in Zusammenarbeit mit der Hydrologie entstand. Zum Spektrum der Fragen der Hydrologen gehören sehr viele unterschiedliche Themen. Man kann summarisch sagen: alles zum Thema Wasserkreislauf, was nicht die Meteorologen beantworten. Konkret geht es z.B. um Niederschlagsabfluss oder Hochwasservorhersage. Eine Frage, die dabei immer wieder auftaucht ist: Wo steckt die meiste Information in den Datensätzen oder den erstellten Modellen? Ein typischer Anwendungsfall schließt beispielsweise aus den Flußpegelstände von unterschiedlichen Flüssen im gleichen System, den Niederschlagmessungen, der Lufttemperatur, Schneehöhen, Bodenfeuchte und Bodenbeschaffenheit auf die Zielgröße - einen konkreten Flusspegelstand. Ein Zusammenhang aller Daten mit der Zielgröße ist klar, aber wie er konkret aussieht ist schwerer zu fassen. Informationsflüsse quantifizieren in diesem Kontext, welche Messreihen die meisten Informationen über die Zielgröße liefern. Daneben stellt sich auch die Frage: Kann ich einmal gewonnene Konzepte auf andere System übertragen? Kann ich mir dort sparen noch einmal sehr viel zu messen, also mit weniger Daten auskommen? Am Anfang steht dann die Frage: Was ist Information? Das Konzept für das sich Paul Darscheid entschieden hat ist die Shannon Entropie - ein Maß für Unsicherheit aufgrund der vorliegenden Streuung in den Daten. Tatsächlich besteht ein Zusammenhang zum physikalischen Begriff der Entropie. Die unterstellte Verteilung eines Datensatzes wird zur Grundlage auf der Größen wie Informationssicherheit und andere abgeleitet werden. Die Natur als Meßdaten führt auf eine diskrete Verteilung, die evtl. noch vergröbert wird durch Wählen von Stufen (bins) innerhalb derer der Unterschied als nicht relevant angesehen wird. Für eine Beobachtung stellt sich die Frage: Wieviel Information steckt in dieser zusätzlichen Messung? Für sehr wahrscheinliche Ereignisse ist es kaum zusätzliches Wissen, weil es mit vorherigen Vermutungen übereinstimmt. Für ein unwahrscheinliches Ereignis ist die zusätzlich gewonnene Information sehr groß. Ein Problem ist auch, dass die diskrete Verteilung aus beobachteten Daten gewonnen wird - d.h. man muss eine Schätzung der Verteilung vornehmen. Darauf aufbauend ist es wichtig zu wissen, wie mit Teilmengen des Datensatzes die geschätzte Verteilung approximiert werden kann. Die Unsicherheit hierbei kommt durch Streuung der Daten und durch den vorhandenen Ausschnitt der Realität, der in den Daten eingefangen wird. Wie sehr beeinflusst die Größe des Datensatzes die zutreffende Schätzung der Verteilung? Dies lässt sich mir der Kullberg-Leibler-Divergenz beschreiben, die die Unsicherheit durch Unwissen über die Verteilung misst. Die Kreuzenthropie addiert die Unsicherheiten der Shannon Entropie und der Kullberg-Leibler Divergenz und ist damit ein Maß für die Gesamtunsicherheit der Schätzung der Verteilung. Hierbei erleichtern die logarithmischen Maße das Rechnen - Produkte werden zu Summen. Literatur und weiterführende Informationen
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| Stokes Operator | 29 Jun 2017 | 01:14:01 | |
Peer Kunstmann hat in Kiel Mathematik studiert und 1995 promoviert. In seiner Zeit an der Fakultät für Mathematik in Karlsruhe hat er sich 2002 habilitiert. Er arbeitet als Akademischer Oberrat dauerhaft in der Arbeitsgruppe Angewandte Analysis an unserer Fakultät. Gudrun hat das Gespräch über ein für beide interessantes Thema - das Stokesproblem - gesucht, weil beide schon über längere Zeit mit unterschiedlichen Methoden zu dieser Gleichung forschen. Das Stokesproblem ist der lineare Anteil der Navier-Stokes Gleichungen, dem klassischen Modell für Strömungen. Sie haben eine gewisse Faszination, da sie einfach genug erscheinen, um sie in ihrer Struktur sehr eingehend verstehen zu können, zeigen aber auch immer wieder, dass man sie nicht unterschätzen darf in ihrer Komplexität. Peers Interesse wurde zu Beginn seiner Zeit in Karlsruhe durch Matthias Hieber geweckt, der inzwischen an der TU Darmstadt tätig ist. Es zeigte sich seit damals als sehr aktives Forschungsgebiet, weshalb er auch immer wieder neu zu diesen Fragestellungen zurückgekehrt ist. Mit den klassischen Randbedingungen (konkret, wenn auf dem Rand vorgeschrieben wird, dass die Lösung dort verschwindet = homogene Dirichletbedingung) ist das Stokesproblem auffassbar als Laplaceoperator, der auf Räumen mit divergenzfreien Vektorfeldern agiert. Der Laplaceoperator ist sehr gut verstanden und die Einschränkung auf den abgeschlossenen Unterraum der Vektorfelder mit der Eigenschaft, dass ihre Divergenz den Wert 0 ergibt, lässt sich mit einer Orthogonalprojektion - der Helmholtzprojektion - beschreiben. Im Hilbertraumfall, d.h. wenn die Räume auf einer L^2-Struktur basieren und der Raum deshalb auch ein Skalarprodukt hat, weiß man, dass diese Projektion immer existiert und gute Eigenschaften hat. Für andere Räume ohne diese Struktur (z.B. -basiert für q nicht 2) hängt die Antwort auf die Frage, für welche q die Projektion existiert, von der Geometrie des Gebietes ab. Für beschränkte Gebiete geht vor allem die Glattheit des Randes ein. Das spiegelt sich auch auf der Seite des Laplaceproblems, wo die Regularität im Innern des Gebietes relativ elementar gezeigt werden kann, aber in der Nähe des Randes und auf dem Rand gehen in die Argumente direkt die Regularität des Randes ein. Mathematisch wird das Gebiet dabei mit Kreisen überdeckt und mit Hilfe einer sogenannten Zerlegung der Eins anschließend die Lösung für das ganze Gebiet zusammengesetzt. Für die Kreise, die ganz im Innern des Gebietes liegen, wird die Lösung auf den ganzen Raum mit dem Wert 0 fortgesetzt, weil die Behandlung des ganzen Raumes sehr einfach ist. Für Kreise am Rand, wird der Rand lokal glatt gebogen zu einer geraden Linie und (ebenfalls nach Fortsetzung mit 0) ein Halbraum-Problem gelöst. Natürlich liegt es in der Glattheit des Randes, ob das "gerade biegen" nur kleine Fehlerterme erzeugt, die sich "verstecken" lassen oder ob das nicht funktioniert. Für einen Rand, der lokal durch zweimal differenzierbare Funktion dargestellt werden kann, funktioniert diese Technik gut. Für Gebiete, die einen Rand haben, der lokal durch Lipschitzstetige Funktionen darstellbar ist, werden z.B. Randintegraldarstellungen direkt untersucht. Dort existiert die Helmholtzzerlegung für alle q im Intervall (wobei vom Gebiet abhängt). Durch die kleinen Fehlerterme, die in der Technik entstehen, wird es auch nötig, die Gleichung für die Divergenz zu untersuchen, wo keine 0 sondern eine beliebige Funktion (natürlich mit den entsprechenden Regularitätseigenschaften) als rechte Seite erlaubt ist. Ein Begriff, der eine wichtige Eigenschaft von partiellen Differentialgleichungen beschreibt, ist der der maximalen Regularität. Einfach ausgedrückt heißt das, wenn ich die rechte Seite in einem Raum vorgebe, ist die Lösung genau so viel regulärer, dass nach Anwendung des Differentialoperators das Ergebnis die Regularität der rechten Seite hat. Für das Laplaceproblem Im Zusammenhang mit der Frage der maximalen Regularität hat sich der -Kalkül als sehr nützlich erwiesen. Ein anderer Zugang wählt statt der Operatorformulierung die schwache Formulierung und arbeitet mit Bilinearformen und Ergebnissen der Funktionalanalysis. Hier kann man vergleichsweise wenig abstrakt und in diesem Sinn elementar auch viel für das Stokes- und das Navier-Stokes Problem zeigen. Es gibt ein vorbildliches Buch von Hermann Sohr dazu. Literatur und weiterführende Informationen
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| Automated Binary Analysis | 22 Jun 2017 | 00:53:06 | |
Zur GPN17 des Entropia e.V. im ZKM - Zentrum für Kunst und Medien und der Hochschule für Gestaltung (HfG) hat Florian Magin (@0x464d) einen Vortrag zu Automated Binary Analysis gehalten und war bereit uns auch im Podcast zu erzählen, wie er mit mathematischen Verfahren Software auf Schwachstellen analysiert. Florian studiert Informatik an der TU Darmstadt und engagiert sich im CTF-Team Wizards of Dos seiner Universität. Sein Interesse an der Computersicherheit hat ihn auch zur Firma ERNW Research geführt, wo er als Werkstudent in der IT-Sicherheitsforschung tätig ist. Wie wichtig die Suche nach Schwachstellen und deren Absicherung ist, wurde kürzlich bei der weltweiten Verbreitung der WannaCry/WannaCrypt-Schadsoftware bewusst, die die Aufmerksamkeit von einer anderen und lukrativeren Schadsoftware Adylkuzz ablenkte. Unter der Binary Analysis versteht man die quellenlose Analyse eines Programms alleine auf den Daten im Maschinencode auf einem Speichermedium. Ein erster Schritt der Analysis ist die Wandlung der Maschinensprache in Mnemonic durch einen Disassembler. Dieser Programmcode kann sich deutlich von einer ursprünglichen Quelltext des Programms unterscheiden, da der Maschinencode erzeugende Compiler eine Vielzahl von Optimierungsmöglichkeiten umsetzt, die den Ablauf und das Abbild des Programms im Maschinencode deutlich verändern können. Eine Herausforderung stellt sich inzwischen in der Größe der Programme: Während es inzwischen zahlreiche Wettbewerbe gibt, Programme unter extremen Platzbeschränkungen umzusetzen, wächst die Größe klassischer Programme stark an. Ein Maschinensprache-Befehl kann in einem Byte kodiert sein, wie früher etwa hexadezimal C9 auf dem Z80 eine Unterroutine beendet, so können in 4 Bytes Operationen wie eine Addition samt Parameter definiert sein. Die automatisierte Binäranalyse hat besonders durch die Darpa Cyber Grand Challenge im Jahr 2016 großes Interesse geweckt, wo die Teams autonome Software entwickeln sollten, die für sich alleine den CTF-Wettbewerb bestreitet. Eine Anwendung solcher automatisierten Programme ist die schnelle Überprüfung von neuer Software auf bekannte oder typische Schwachstellen oder Implementierungsfehler. Eine sehr allgemeine Methode zur Detektion von Sicherheitslücken ist das Fuzzing: Das Open Source Tool AFL modifiziert beispielsweise korrekte Eingabewerte und prüft bei welcher Modifikation das Programm vom zuvor aufgezeichneten Programmablauf abweicht und damit einen Hinweis auf eine mögliche Schwachstelle gibt. Es kann dabei idealerweise auf dem Sourcecode operieren oder auch das Programm in einem Emulator wie QEMU ausführen und analysieren. Wie schwer aber selbst Source Code zu verstehen sein kann, zeigen die Wettbewerbe International Obfuscated C Code Contest (IOCCC), zu möglichst schwer verständlichen sinnvollen Code, und der Underhanded C Contest, wo ein scheinbar sinnvoller Code für Menschen möglichst unvorhersehbare Zusatzfunktionen aufweist. Ebenso können sehr beliebte Programmiersprachen wie Python sehr unvorhersehbar reagieren, wenn man versehentlich Tabulatoren und Space vermischt, oder gleich die Programmiersprache Whitespace benutzt. Ein weiteres Beispiel ist, dass das Breitenlose Leerzeichen in neuen C++-Standards erlaubt ist, und für den Menschen ununterscheidbaren Code ermöglicht, der unterschiedliche Dinge tut. Aber auch Computer können getäuscht werden, wenn zum Vergleich unsichere Hash-Funktionen genutzt werden, wie jüngst die Shattered-Attacke auf die SHA-1 Hash zeigte. Eine automatisierte Analysemöglichkeit ist die Control Flow Graph Recovery, die beispielsweise mit IDA , radare2, binary ninja durchgeführt werden kann, um aus einer eindimensionalen Speicherdarstellung zu einem Programmnetz, wo zusammengehörige Programmblöcke miteinander vernetzt werden. Hier kann auch schon sichtbar werden, ob beschränkte Bereiche ohne Authentifikation erreicht werden können. Ein weiteres automatisierbares Verfahren ist die Datenflussanalyse, wo die Verarbeitung und Auswirkungen von Variablen und Daten im Verlauf des Programms analysiert wird. Hier kann der Verlauf von beispielsweise vertraulichen Daten kontrolliert werden. Bei einer Symbolischen Auswertung wird das Programm abstrakt mit einem Interpreter auf beliebigen variablen Daten bzw. symbolischen Ausdrücken auf allen Pfaden gleichzeitig ausgeführt. Für die Pfaderkundung benötigt man hier eine Strategie zwischen der Breitensuche und Tiefensuche, um die relevanten Teile des Ausführungsgraphen möglichst schnell abzudecken. In der automatisierten Analyse werden dabei offene Sprungmöglichkeiten zu nahezu beliebigen Adressen sehr interessant, da dies einen starken Indikator für einen Angriffsvektor liefern. Mit Return-oriented Programming kann man so bestehenden Code gezielt anspringen und für eigene Zwecke missbrauchen. Das Open-Source Framework Angr wurde von Forschern des Computer Security Lab at UC Santa Barbara entwickelt und belegte mit Shellphish auf der Darpa-Challenge den dritten Platz. Ein weiteres Open-Source Analyseframework ist Triton, welches man leicht in eigene Projekte einbinden kann. Sehr verbreitet ist auch das Framework S2E der École Polytechnique Fédérale de Lausanne. Ein weiterer Finalist der Cyber Grand Challenge ist das Team CodeJitsu von der University of California at Berkeley, Cyberhaven, and Syracuse. Die Binary Analysis Platform wurde vom Team um Professor David Brumley am Cylab der Carnegie Mellon University entwickelt. Funktionale Programmiersprachen wie OCAML oder Haskell haben für den Anwendungsfall der symbolischen Auswertung ganz besondere Vorteile. Ebenso werden Programmiersprachen auch auf ihre inherente Unsicherheit im Sinne der Language based security untersucht, sowie fertige Programme versucht auch auf ihre Korrektheit zu verifizieren. Ein Tool, das dies vereinfachen soll ist der Z3 Prover. Hier kommt die Suche nach Sicherheitslücke zur Mathematik: In der formalen Darstellung einer Routine kann das Verhalten als Abbildung aus symbolischen Variablen beschrieben werden, und die Suche nach einer Lösung führt auf die entsprechenden Logik oder Optimierungsverfahren. Literatur und weiterführende Informationen
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GPN17 Special
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| Bruchzonen | 15 Jun 2017 | 00:30:22 | |
Stephanie Wollherr hat ihr Mathestudium am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) absolviert und in unserer Arbeitsgruppe die Abschlussarbeit im Kontext von numerischen Methoden für Wellengleichungen geschrieben. Damals hat Gudrun Thäter sie aus dem Podcastgespräch verabschiedet mit dem Wunsch, in einigen Jahren zu hören, was sie in der Zwischenzeit mathematisches tut. Was wie eine Floskel klingen mag, hat nun zum ersten Mal tatsächlich stattgefunden - ein Gespräch zur Arbeit von Stephanie in der Seismologie an der Ludwig-Maximillians-Universität (LMU) in München. In der Geophysik an der LMU wurde in den letzten 10 Jahren eine Software zur Wellenausbreitung entwickelt und benutzt, die immer weiter um simulierbare Phänomene ergänzt wird. Stephanie arbeitet an Dynamic Rupture Problemen - also der Simulation der Bruchdynamik als Quelle von Erdbeben. Hier geht es vor allem darum, weitere physikalische Eigenschaften wie z.B. Plastizität (bisher wurde meist vorausgesetzt, dass sich das Gestein elastisch verformt) und neue Reibungsgesetze zu implementieren und in Simulationen auf ihre Wirkung zu testen. Als Basis der Simulationen stehen zum einen Beobachtungen von Erdbeben aus der Vergangenheit zur Verfügung, zum anderen versucht man auch durch Laborexperimente, die aber leider ganz andere Größenskalen als die Realität haben, mögliche Eigenschaften der Bruchdynamik miteinzubeziehen. Die Daten der Seimsologischen Netzwerke sind zum Teil sogar öffentlich zugänglich. Im Bereich Dynamic Rupture Simulationen kann man eine gewisse Konzentration an Forschungskompetenz in Kalifornien feststellen, weil dort die möglicherweise katastrophalen Auswirkungen von zu erwartenden Erdbeben recht gegenwärtig sind. Das South California Earthquake Center unterstützt zum Beispiel unter anderem Softwares, die diese Art von Problemen simulieren, indem sie synthetische Testprobleme zur Verfügung stellen, die man benutzen kann, um die Ergebnisse seiner Software mit anderen zu vergleichen. Prinzipiell sind der Simulation von Bruchzonen bei Erdbeben gewissen Grenzen mit traditionellen Methoden gesetzt, da die Stetigkeit verloren geht. Der momentan gewählte Ausweg ist, im vornherein festzulegen, wo die Bruchzone verläuft, zutreffende Reibungsgesetze als Randbedingung zu setzen und mit Discontinuous Galerkin Methoden numerisch zu lösen. Diese unstetig angesetzten Verfahren eignen sich hervorragend, weil sie zwischen den Elementen Sprünge zulassen.
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| Smart Meter Gateway | 08 Jun 2017 | 01:24:08 | |
Zur GPN17 des Entropia e.V. im ZKM - Zentrum für Kunst und Medien und der Hochschule für Gestaltung (HfG) hat Manuel Lösch einen Vortrag zu Smart Meter Gateways gehalten. Manuel promoviert am FZI Forschungszentrum Informatik in Karlsruhe zu intelligenten Stromnetzen und der Flexibilisierung von elektrischen Lasten, um diese netzdienlich zur Verfügung zu stellen. Die Einführung des Smart Meter Gateway wurde mit dem Gesetz zur Digitalisierung der Energiewende Ende 2016 in Deutschland beschlossen. Dabei muss man Smart Meter Gateways deutlich von den so genannten Smart Metern oder intelligenten Zählern unterscheiden, die im Fall der elektrischen Energie den Ferraris-Zähler ablösen werden und den Stromverbrauch digital aufzeichnen und verarbeiten können. Die Kombination von intelligenten Zählern und einem Smart Meter Gateway resultiert in einem Intelligenten Messsystem, das Informationen auch an externe Entitäten wie Energielieferanten oder Netzbetreiber versenden kann. Viele Smart Meter sind mit einer Infrarot-Schnittstelle via Smart Message Language beispielsweise über das Volkszähler-Projekt auslesbar. Neuere Geräte verfügen über eine standardisierte M-Bus-Schnittstelle zur digitalen Datenübertragung zwischen Zähler und z.B. dem Smart Meter Gateway. Grundsätzlich soll die Standardisierung den Kunden das Auslesen erleichtern, damit sie einen besseren Einblick in ihr Energienutzungsverhalten erhalten und Einsparmöglichkeiten erkennen können. Gesetzlich ist sogar vorgeschrieben, dass die Nutzer eines intelligenten Zählers neben dem aktuellen Verbrauchswert sogar einen Einblick bis zwei Jahre in die Vergangenheit erhalten müssen. Bis zum Jahre 2032 sollen nach dem Gesetz zur Digitalisierung der Energiewende alle Haushalte in Deutschland mit mindestens intelligenten Zählern ausgestattet sein, und je nach Haushaltsgröße auch mit Smart Meter Gateways, die die Kommunikation nach extern ermöglichen. Die Basis des Gesetzes ist das dritte Energiepaket der EU von 2009, die den Mitgliedstaaten vorgab eine Smart-Metering-Infrastruktur einzurichten, wenn eine Kosten-Nutzen-Analyse dieses für sinnvoll erachtet. Daher wurde 2013 eine Kosten-Nutzen-Analyse durchgeführt mit dem Ergebnis, dass ein Teil-Rollout für Deutschland sinnvoll ist. So sollen zwar alle Nutzer intelligente Zähler erhalten, jedoch sind die Gateways nur für größere, sog. netzrelevante, Nutzer vorgeschrieben. Die betrachtete Nutzungsgröße kann sich mit größerer Elektromobilität jedoch stark ändern: Mit einem Elektroauto kann der Verbrauch eines kleinen Haushalts sich vervielfachen und auch die dezentrale Stromerzeugung beispielsweise durch Photovoltaik wird einbezogen. Mit der Energiewende hat sich die Belastung der Stromnetze stark geändert. Die bisher auf zentrale Versorgung ausgelegte hierarchische Netztopologie kann durch dezentrale Stromerzeugung stark belastet werden. Zur Entlastung der Netze wurden Betreiber von PV-Anlagen verpflichtet, die Einspeisung zu beschränken, entweder fest auf 70 Prozent der Maximalleistung oder über ein Einspeisemanagement gesteuert über Rundsteuertechnik. Das Smart Meter Gateway arbeitet auf drei Netzbereichen und soll eine sichere Kommunikation zwischen diesen ermöglichen. So gibt es das dem Internet bzw. Wide Area Network zur Kommunikation mit beispielsweise dem Stromanbieter, das Home Area Network für Anwendungen im eigenen Haus und das Local Metrological Network welches die eigentlichen Strom-, Wärme, Gas- und Wasserzähler beinhaltet. Im Home Area Network könnten künftig beispielsweise Geräte wie das Nest Thermostat angeschlossen werden. Dieses kann in den USA heute schon beispielsweise Wärmepumpen oder Klimaanlagen sowohl nach Nutzeranforderung und Netzanforderungen optimiert ansteuern. Dabei werden das Haus oder der Warmwasserspeicher, also bereits vorhandene thermische Energiespeicher, zur Lastverschiebung im "intelligenten" Stromnetz ausgenutzt. Das Konzept dazu ist nicht neu, seit längerer Zeit gibt es bereits den Niederstromtarif, der im Gegensatz zum Hochtarif preiswerter ist und zu Zeiten geringer Netzauslastung zur Verfügung steht. Diese Tarife werden auch heute teilweise noch mit Nachtspeicherheizungen genutzt. Auf Grund energetischer Ineffizienz wurden Speicherheizungen bereits verboten, heute erleben sie aber wieder eine gewisse Renaissance, da sie zur Pufferung überschüssiger Energie herangezogen werden können. Mit der ermöglichten Kommunikation über verschiedene Netzwerkbereiche und der Steuerbarkeit von außen steigen auch die Sicherheitsanforderungen an ein solches System. Daher sind Smart Meter Gateways in Deutschland in eine Public Key Infrastruktur eingebunden, um einen Missbrauch nach Stand der Technik zu unterbinden. Eine sehr wichtige Rolle wird hier dem Smart Meter Gateway Administrator zugeteilt, der durch digitale Zertifikate die Grundlage für die Authentifizierung der verschiedenen Kommunikationspartner setzt. Die innere Sicherheit des Smart Meter Gateway wird durch ein vom BSI zertifiziertes Sicherheitsmodul gewährleistet, das die erforderliche Kryptographie zur sicheren Kommunikation zur Verfügung stellt. Auch in manchen Smartphones werden zusätzliche Chips zur Absicherung verwendet. Auch wenn es zumindest schon einen Anbieter eines zertifizierten Sicherheitsmoduls gibt, haben sich zum Zeitpunkt der Aufnahme zwar acht Gateways zur Zertifizierung beworben, doch hat noch keines die Zertifizierung abgeschlossen, obwohl die Gesetzgeber in diesem Jahr den Start des Rollouts intelligenter Messsysteme geplant haben. Die Wahrung der Privatsphäre ist ein wichtiges Thema bei der Weitergabe von Stromverbrauchsdaten: So konnte mit Hilfe der Messdaten eines Smart Meters bereits erfolgreich bestimmt werden, welcher Film auf einem Fernseher lief. Auf der anderen Seite ist die zeitnahe und regelmäßige Weitergabe von Stromverbrauchsdaten eine sehr wichtige Informationsquelle für die Bewirtschaftung der Bilanzkreise, die wesentlich auf der Erstellung von Prognosen basiert und grundlegend für die Stabilität unseres Stromnetzes ist. Da bei kleineren Verbrauchern noch keine viertelstündlichen Verbrauchsmeldungen erzeugt werden, kommen dort standardisierte Lastprofile zum Einsatz, um den typischen Stromverbrauch von Haushalten und Gewerbebetrieben zu modellieren. Durch die steigende Elektromobilität kann sich in Zukunft durch häusliches Laden der Verbrauch eines Haushalts jedoch deutlich von Standardlastprofilen unterscheiden. Andererseits ergibt der Ladeprozess einen neuen Freiheitsgrad, um Lasten zu verschieben und gerade dann Energie zu verbrauchen, wenn diese im Überfluss vorhanden ist. Zur Koordination vieler kleiner dezentraler Energieerzeuger wurde das Konzept der virtuellen Kraftwerke ins Leben gerufen, mit dem viele kleine Kraftwerke als gemeinsame Institution an Strom- und Regelleistungsmärkten aktiv teilnehmen können. Wenn der tatsächliche Verbrauch sich von den Prognosen stark unterscheidet, so fluktuieren die Preise an der Strombörse stark, es kann an der EPEX am Spotmarkt bei starkem Überangebot sogar zu negativen Strompreisen kommen, da große Kraftwerke sich nur beschränkt regeln lassen. Diese Großhandelspreise können aber aktuell nur zu einem Teil an Endkunden weitergegeben werden, da der tatsächliche Energiepreis nur einen Teil des Endpreises ausmacht; zusätzlich fallen fixe Netzentgelte und Umlagen an. Die Steuerung dezentraler Stromerzeuger und variabler Stromverbraucher (heute v.a. Wärmepumpen und Speicherheizungen) wie oft auch die Straßenbeleuchtung erfolgt an vielen Orten und auch in Karlsruhe durch Rundsteuertechnik, welche Signale im hörbaren Frequenzbereich von 110-2000 Hz über das vorhandene Stromnetz überträgt. Um hier ein Netzsegment zu steuern sind Sendeleistungen teilweise bis im hohen Kilowattbereich erforderlich. Die Rundsteuertechnik ist an vielen Orten auch durch Funkrundsteuertechnik mit Signalen auf Langwelle oder Ultrakurzwelle realisiert. Langwellensignale wie DCF77 können mit Soundkarten empfangen und auch können Langwellen per Audioausgang gesendet werden. Zur GPN17 wurde auch der Gulasch Push Notifier alias GPN-Badge entwickelt, der ebenso zentral die Teilnehmer des Events zum Gulasch rufen sollte. Das Forschungsgebiet von Manuel behandelt die Erschließung von Flexibilität in der Erzeugung und dem Verbrauch elektrischer Energie, mit dem Ziel diese netzdienlich und gewinnbringend in sogenannten "intelligenten Stromnetzen" zur Verfügung zu stellen. Dies untersucht er aktuell im Kontext größerer Liegenschaften, welche als große Endverbraucher oft auch vor Ort über eigene dezentrale Stromerzeuger verfügen. Am FZI House of Living Labs setzt er die Forschung praxisnah um: Das Energiemanagementsystem im FZI House of Living Labs ermöglicht beispielsweise die automatisierte Steuerung der Klimaanlage passend zu Meetings und dem aktuellen Netzzustand. Literatur und weiterführende Informationen
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GPN17 Special
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| Cerebral Fluid Flow | 25 May 2017 | 00:35:37 | |
This is one of two conversations which Gudrun Thäter recorded alongside the conference Women in PDEs which took place at our faculty in Karlsruhe on 27-28 April 2017. Marie Elisabeth Rognes was one of the seven invited speakers. Marie is Chief Research Scientist at the Norwegian research laboratory Simula near Oslo. She is Head of department for Biomedical Computing there. Marie got her university education with a focus on Applied Mathematics, Mechanics and Numerical Physics as well as her PhD in Applied mathematics at the Centre for Mathematics for Applications in the Department of Mathematics at the University of Oslo. Her work is devoted to providing robust methods to solve Partial Differential Equations (PDEs) for diverse applications. On the one hand this means that from the mathematical side she works on numerical analysis, optimal control, robust Finite Element software as well as Uncertainty quantification while on the other hand she is very much interested in the modeling with the help of PDEs and in particular Mathematical models of physiological processes. These models are useful to answer What if type-questions much more easily than with the help of laboratory experiments. In our conversation we discussed one of the many applications - Cerebral fluid flow, i.e. fluid flow in the context of the human brain. Medical doctors and biologists know that the soft matter cells of the human brain are filled with fluid. Also the space between the cells contains the water-like cerebrospinal fluid. It provides a bath for human brain. The brain expands and contracts with each heartbeat and appoximately 1 ml of fluid is interchanged between brain and spinal area. What the specialists do not know is: Is there a circulation of fluid? This is especially interesting since there is no traditional lymphatic system to transport away the biological waste of the brain (this process is at work everywhere else in our body). So how does the brain get rid of its litter? There are several hyotheses:
The aim of Marie's work is to numerically test these (and other) hypotheses. Basic testing starts on very idalised geometries. For the overall picture one useful simplified geometry is the annulus i.e. a region bounded by two concentric circles. For the microlevel-look a small cube can be the chosen geometry. As material law the flow in a porous medium which is based on Darcy flow is the starting point - maybe taking into account the coupling with an elastic behaviour on the boundary. The difficult non-mathematical questions which have to be answered are:
In the near future she hopes to better understand the multiscale character of the processes. Here especially for embedding 1d- into 3d-geometry there is almost no theory available. For the project Marie has been awarded a FRIPRO Young Research Talents Grant of the Research Council of Norway (3 years - starting April 2016) and the very prestegious ERC Starting Grant (5 years starting - 2017). References
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| Convolution Quadrature | 18 May 2017 | 00:30:32 | |
This is one of two conversations which Gudrun Thäter recorded alongside the conference Women in PDEs which took place at our Department in Karlsruhe on 27-28 April 2017. Maria Lopez-Fernandez from the University La Sapienza in Rome was one of the seven invited speakers. She got her university degree at the University of Valladolid in Spain and worked as an academic researcher in Madrid and at the University of Zürich. Her field of research is numerical analyis and in particular the robust and efficient approximation of convolutions. The conversation is mainly focussed on its applications to wave scattering problems. The important questions for the numerical tools are: Consistency, stability and convergence analysis. The methods proposed by Maria are Convolution Quadrature type methods for the time discretization coupled with the boundary integral methods for the spatial discretization. Convolution Quadrature methods are based on Laplace transformation and numerical integration. They were initially mostly developed for parabolic problems and are now adapted to serve in the context of (hyperbolic) wave equations. Convolution quadrature methods introduce artificial dissipation in the computation, which stabilzes the numerics. However it would be physically more meaningful to work instead with schemes which conserve mass. She is mainly interested in
The motivational example for her talk was the observation of severe acoustic problems inside a new building at the University of Zürich. Any conversation in the atrium made a lot of noise and if someone was speaking loud it was hard to understand by the others. An improvement was provided by specialised engineers who installed absorbing panels. From the mathematical point of view this is an nice application of the modelling and numerics of wave scattering problems. Of course, it would make a lot of sense to simulate the acoustic situation for such spaces before building them - if stable fast software for the distribution of acoustic pressure or the transport of signals was available. The mathematical challenges are high computational costs, high storage requirements and and stability problems. Due to the nonlocal nature of the equations it is also really hard to make the calculations in parallel to run faster. In addition time-adaptive methods for these types of problems were missing completely in the mathematical literature. In creating them one has to control the numerical errors with the help of a priori and a posteriori estimates which due to Maria's and others work during the last years is in principle known now but still very complicated. Also one easily runs into stability problems when changing the time step size. The acoustic pressure distribution for the new building in Zürich has been sucessfully simulated by co-workers in Zürich and Graz by using these results together with knowledge about the sound-source and deriving heuristic measures from that in order to find a sequence of time steps which keeps the problem stable and adapt to the computations effectively. There is a lot of hope to improve the performance of these tools by representing the required boundary element matrices by approximations with much sparser matrices. References
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| Augmented Reality in der Chirurgie | 11 May 2017 | 00:38:24 | |
Die Arbeit von Staffan Ronnas in der Münchner Firma Brainlab befasst sich mit der Anwendung von Augmented Reality (AR) in der Chirurgie - vor allem in der Neurochirurgie. Ziel ist es, virtuelle, präoperativen Daten mit der "Realität" in Form von live Video auf dem chirurgischen Mikroskop so zu verblenden, dass der Chirurg vor und während der OP einen Nutzen davon hat. Staffan stammt aus Schweden und hat in Karlsruhe in Mathematik in der Arbeitsgruppe promoviert in der auch Gudrun Thäter und Sebastian Ritterbusch tätig waren. Nach seiner Verteidigung 2012 hat er einige Zeit als Postdoc in Karlsruhe und Heidelberg gearbeitet, bevor er zur Firma COMSOL in Stockholm ging. Seit September 2015 wohnt er in München und bringt seine Fähigkeiten als Softwareingenieur bei Brainlab ein. Welche Rolle spielt denn AR zur Zeit in der Chirurgie? Digitale Daten sind schon weit verbreitet in der Medizintechnik und insbesondere in der Chirurgie. Dabei handelt es sich z.B. um CT- oder MR-Bilder, aus denen man virtuelle Objekte durch Segmentierung gewinnen kann. Diese Daten können vor oder während der Behandlung (prä-/intraoperativ) entstehen und werden zur Planung der OP oder zur Navigation während des Eingriffs verwendet. Zum größten Teil werden sie klassisch auf Bildschirmen dargestellt und zur Interaktion dienen eine Maus oder ein Touchscreen oder auch Instrumente, die über Infrarotkameras getracked werden. Speziell in der Neurochirurgie kommen große Mikroskope zum Einsatz, die auch Video aufnehmen können. Das Ziel von Staffans Arbeit ist dabei präoperative virtuelle Daten mit Videodaten zu verblenden um eine erweiterte Darstellung zu zeigen, mit der der Chirurg während der OP navigieren kann. Zu dieser Zweck werden nützliche Informationen wie die aktuelle Position, das Zielobjekt und dazwischen liegende Strukturen im Video dargestellt. Um ein solches System umsetzen zu können, werden Methoden aus vielen verschiedenen Bereichen der angewandten Mathematik benötigt, wie z.B. Bildbehandlung, geometrische Modellierung, 3D Grafik und Computer Vision. Themen wie maschinelles Lernen und Robotik spielen auch eine zunehmend wichtige Rolle. Eine grundlegende Fragestellung mit der sich Staffan viel beschäftigt hat, ist die Modellierung der Optik chirurgischer Mikroskope mit variablem Fokus und Zoom. Ein genaues Modell wird benötigt, um die Lage und Größe der virtuellen Daten bei der Verblendung mit dem Videobild bestimmen zu können. Als grundlegendes Kameramodell dient das Pinholemodell, d.h. eine perspektivische Projektion von Punkten gemessen in einem 3D Koordinatensystem auf die planare Bildebene. Extrinsische Parameter sind dabei die Lage und Orientierung der Kamera im Raum (die Richtung der "optische Achse"). Die intrinsischen Parameter sind abhängig von der Optik z.B. die Brennweite (Skalierung von mm auf pixel-Maß) und verschiedene Arten von Verzerrung. Die Parameter des nichtlinearen Kameramodells werden bestimmt durch Minimierung der Reprojektionsfehler in Aufnahmen von einer bekannten Geometrie. Typischerweise wird der Levenberg-Marquardt Algorithmus benutzt um das Optimierungsproblem zu lösen. Es gibt aber mehrere Schwierigkeiten:
Als Lösung bietet es sich an ein einfacheres Modell zu verwenden und dadurch zu vermeiden, dass redundante Parameter geändert werden. Allerdings muss man darauf achten, dass das Ergebnis immer noch ausreichend Genauigkeit bietet. Literatur und weiterführende Informationen
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| Ginkgo | 27 May 2021 | 00:54:37 | |
Gudrun spricht mit Hartwig Anzt. Er leitet die Helmholtz-Nachwuchsgruppe Fixed-point methods for numerics at Exascale (FiNE) am SCC. Seine Forschung beschäftigt sich mit numerischer linearer Algebra in modernen Hochleistungsrechnersystemen. Angesichts des explosionsartigen Anstiegs der Hardware-Parallelität erfordert die effiziente Ausführung von Anwendungen auf solchen Systemen eine völlige Neugestaltung der zugrunde liegenden numerischen Methoden. Dieses neue Paradigma muss Implementierungen umfassen, die sich auf die Parallelität auf Knotenebene, ein reduziertes globales Kommunikationsvolumen und abgeschwächte Synchronisationsanforderungen konzentrieren. Hartwig ist Teil des PEEKS und xSDK-Projekts und leitet die Multiprecision-Initiative im US Exascale Computing Project (ECP). Das Ziel dieser Initiative besteht darin, die Nutzung verschiedener arithmetischer Präzisionen in numerische Algorithmen zu erforschen, wodurch viele Algorithmen beschleunigt werden können, ohne dabei Genauigkeit einzubüßen. Hartwigs Forschungsschwerpunkt liegt auf der Entwicklung und Optimierung numerischer Methoden für effizientes Hochleistungsrechnen. Insbesondere interessiert er sich für lineare Algebra für dünn besetzte Matrizen, iterative und asynchrone Methoden, Krylov-Löser und Vorkonditionierung. Die zugrundeliegende Idee besteht darin, numerische Probleme als Fixpunktprobleme umzuformulieren, um höhere Parallelisierungsgrade zu ermöglichen. Die Implementierung der Fixpunktmethoden macht typischerweise starken Gebrauch von (datenparallelen) Batch-Routinen und weist schwache Synchronisationsanforderungen auf. Die Algorithmenforschung wird ergänzt durch Bemühungen, die auf eine nachhaltige Software-Entwicklung in einem akademischen Umfeld und einen gesunden Software-Lebenszyklus abzielen. Ein Ergebnis dieser Bemühungen ist Ginkgo, eine Open Source Softwarebibliothek für numerische lineare Algebra mit dem Fokus auf Löser für dünn besetzte Systeme, die Hartwig ins Leben gerufen hat. Bei dem Stichwort Software-Nachhaltigkeit könnte man an das Vorhandensein eines Continuous Integration (CI)-Frameworks denken, also das Vorhandensein eines Test-Frameworks, das aus Unit-Tests, Integrationstests und End-to-End-Tests besteht (inkl. das Vorhandensein einer Software-Dokumentation). Wenn man jedoch fragt, was der übliche Todesstoß für ein wissenschaftliches Softwareprodukt ist, ist es oft die fehlende Plattform- und Leistungsportabilität. Vor diesem Hintergrund haben Hartwig und seine Gruppe wir Ginkgo-Bibliothek mit dem primären Fokus auf Plattform-Portabilität und der Fähigkeit, nicht nur auf neue Hardware-Architekturen zu portieren, sondern auch eine gute Performance zu erreichen, entwickelt. Die grundlegende Idee beim Design der Ginkgo-Bibliothek ist eine radikale Trennung der Algorithmen von den hardwarespezifischen Dingen. Daneben sprechen Gudrun und Hartwig über die Nutzung von Kalkülen mit geringer Genauigkeit für letztendlich präzise Algorithmen. Die Hardware-Anbieter haben nämlich damit begonnen, spezielle Funktionseinheiten mit geringer Genauigkeit zu entwickeln, um der Nachfrage z.B. der Machine-Learning-Community und deren Bedarf an hoher Rechenleistung in Formaten mit geringer Genauigkeit zu entsprechen. Hartwig konzentriert sich darauf, wie dann Mixed- und Multiprecision-Technologie helfen kann, die Leistung dieser Methoden zu verbessern und findet Anwendungen, die die traditionellen Methoden mit fester Genauigkeit deutlich übertreffen. Literatur und weiterführende Informationen
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| Bakterienkommunikation | 04 May 2017 | 00:30:00 | |
Diese Folge ist eines von drei Gesprächen mit Mathematikerinnen und Mathematikern an der TU München in Garching bei München, die Gudrun am 10. April 2017 dort geführt hat. Christina Kuttler enwickelt und untersucht mathematische Modelle, die helfen, Bakterien-Kommunikation besser zu verstehen. Ausgangspunkt des Forschungsthemas war die Beobachtung, dass bestimmte Meeresbakterien (nämlich Aliivibrio fischeri) im Leuchtorgan des Tintenfisches Euprymna scolopes Licht aussenden können, sobald genug von ihnen vorhanden sind. Natürlich stellte sich die Frage: Wie stellen sie fest, dass sich leuchten lohnt, d.h. dass genug Bakterien ihrer Art versammelt sind? Biologie musste also durch gezielte Experimente und allgemeine Beobachtungen klären: Was und wie kommunizieren diese und andere Bakterien? Die typischen Antwort im Umfeld der Arbeitsgruppe von Christina Kuttler sind: Bakterien eruieren über chemische Signalstoffe, die in den Zellen produziert und ausgetauscht werden, ob in örtlicher Nähe noch mehr Bakterien ihrer Art vorhanden sind und in welcher Konzentration. Dafür haben sie Rezeptoren in den Zellen, die die Signalstoffkonzentration messen. Auf die gleiche Weise können sich auch bestimmte Krankheitserreger zunächst vermehren ohne den Wirt anzugreifen. Erst wenn eine gewisse Schwelle überschritten wird, ändern sie ihr Verhalten und beginnen ihre Wirkung zu entfalten. Die Änderung des Verhaltens unter den Bedingungen "ich bin fast allein" bzw. "wir sind viele" erfolgt über Genregulationssysteme, d.h. konkrete Informationen auf den Genen werden aktiviert oder ausgeschaltet - je nachdem welche Signalstoffkonzentration gemessen wird. In diese Prozesse kann man durch Marker in experimentellen Untersuchungen eingreifen und dadurch auch messen. Die dabei gewonnenen Daten werden in Modelle gegossen, die so komplex sind, dass man sich dafür Mathematiker und Mathematikerinnen ins Team holt. Meist werden große Systeme von Differentialgleichungen aufgestellt und durch Untersuchung der Lösungseigenschaften der Gleichungen kann man überprüfen, welche Experimente noch weiter Aufschluss darüber geben können, ob das System ein gutes Modell für das Verhalten der Bakterien ist. Hierzu sind einerseits qualitative Untersuchungen der Gleichungen hilfreich, die z.B. Bereiche finden, in denen bestimmte Werte steigen oder fallen (und wie schnell, d.h. in welcher Ordnung) oder wo Stabilitätseigenschaften vorliegen. Es kommt dabei z.B. vor, dass Stabilitätsbereiche mathematisch detektiert werden, die erst später durch Experimente nachgestellt und dadurch verifiziert werden. Andererseits erfolgt eine quantitative Untersuchung, d.h. die Systeme von Differentialgleichungen werden numerisch (näherungsweise) gelöst. Es ist möglich auf diese Weise auch für verschiedene dem Prozess inhärente Zeitskalen die Modelle zu simulieren, denn dafür stehen gute und gut verstandene numerische Verfahren zur Verfügung. Beide Zugänge führen zu Ergebnissen, die als gemeinsame Erfolge von Mathematik und Biologie veröffentlicht werden. Im Wesentlichen konzentrieren sich die Forschergruppen darauf, Prinzipien zu verstehen, die hinter der beobachteten Bakterien-Kommunikation stehen. In der bisherigen Arbeit und in naher Zukunft werden noch kaum stochastische Effekte in Modellen berücksichtigt und in der Regel sind nur gemittelte Werte im Modell dargestellt. Im Moment wird der Zugang auf die Untersuchung von Bakteriophagen ausgedehnt und könnte dazu führen, dass man Alternativen zu klassischen Antibiotika entwickeln kann. Prof. Christina Kuttler hat seit 2008 die Professur für Mathematik in den Lebenswissenschaften an der TUM inne. Sie hat in Tübingen Mathematik, Physik & Informatik studiert und dort auch promoviert. Sie wechselte 2004 nach München - zunächst als Postdoc im Institut für Biomathematik und Biometrie am dortigen Helmholtzzentrum. Literatur und weiterführende Informationen
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| Wissenschaftskommunikation | 27 Apr 2017 | 01:00:44 | |
Der March for Science am 22. April 2017 hat auch in Deutschland ein großes Echo gefunden. Es gab Veranstaltungen in Berlin, Bonn, Dresden, Frankfurt/Main, Freiburg/i.Br., Göttingen, Greifswald, Hamburg, Heidelberg, Helgoland, Jena, Kassel, Koblenz, Leipzig, München, Rostock, Stuttgart, Trier und Tübingen mit schließlich über 37.000 Teilnehmern. Unter dem Eindruck der Vorbereitungen auf den 22. April haben sich Gudrun Thäter und Annette Leßmöllmann zum Gespräch getroffen. Sie teilen das Interesse an den Fragen:
Dabei haben sie unterschiedliche Rollen und Erfahrungen, die im Gespräch zu einer persönlichen Einschätzung des Status quo und der Wünsche für die Zukunft zusammengeführt werden. Annette Leßmöllmann leitet die Abteilung Wissenschaftskommunikation im Institut für Germanistik des KIT, das heißt sie forscht und lehrt im Bereich Wissenschaftskommunikation. Ihr Interesse lässt sich kurz fassen als: Was nehmen die Konsumenten wissenschaftlicher Botschaften für ihren Alltag mit? Drei Gedanken stehen am Anfang des Gespräches:
Tatsächlich wird die Arbeit mit Studierenden immer politischer, was sich erst kürzlich am großen Interesse am Vortrag von Michael Blume zum Themenfeld "Wahrheit" zeigte. Am Beispiel der Mathematik zeigen sich konträre Eintwicklungen. Einerseits durchlaufen alle in Deutschland eine mathematische Schulbildung von 10-13 Jahren und setzen das häufig in Ausbildung oder Studium fort. Gesellschaftlich akzeptiert ist jedoch die Aussage: "Das brauche ich später sowieso nicht..." Was noch nie zutreffend war, aber mit der aktuellen Entwicklung in Alltag und Technik immer unwahrer wird, denn
Man bräuchte dafür auch psychologische Forschung, z.B. um den Umgang von Menschen mit Risikobotschaften besser zu verstehen. Denn wir treffen häufig sehr wichtige Entscheidungen unter Zeitdruck und mit nur teilweise zugänglichen Informationen. Dem trägt inzwischen auch ein von der DFG finanziertes Schwerpunktprogramm Rationalität Rechnung. Durchdringung der Berufswelt mit Hochtechnologie und Computern
Man könnte diese Entwicklung doch auch dazu nutzen, um Beratung zu verbessern! Dazu bräuchten Mitarbeiter aber auch Spielraum und eine andere kommunikative Ausbildung. Es ändert auch die Arbeit im Journalismus, denn Nachrichten sind inzwischen überall verfügbar, aber das Einordnen und Wichten wird zum eigentlichen Spezialwissen. Eine wichtige Rolle kommt Modellen zu. Sie ermöglichen die Einordnung der Geschehnisse in der Welt in einen persönlichen Zusammenhang, d.h. genügend vereinfacht, um sie mit Sinn zu füllen und darüber kommunizieren zu können. Die Schulbildung müsste dem Rechnung tragen, ist aber strukturell unterfinanziert und als Beruf und Berufung ist das Lehramt nicht genug wert geschätzt. Auch Universitäten werden immer abhängiger von Geldgebern mit bestimmten eng gesteckten Zielen. Wenn offensichtliche Lügen wenig bis gar keine Konsequenzen haben, greift das die Position von rational begründeten Entscheidungen - also auch eine im Kern von wissenschaftlichen Erkenntnissen getragener Weltaneignung - an der Wurzel an. Als Wissenschaftlerinnen können wir das nur schwer ertragen. Was sind aber Fakten? In der wissenschaftlichen Auseinandersetzung geht es dabei stets um Interpretation von Daten und unterschiedliche Formen von Gewissheit. Was davon ist diskutabel oder überhaupt öffentlich diskutierbar? Als Menschen in der Forschung müssten wir außerhalb unserer Arbeitswelt offensiv für wissenschaftliche Kriterien werben. Wir müssen verstehen, wieso Leute Kraftposen so bewundernswert finden und rationale Diskussionen als "Liberales Getue" abwerten. Das ist unabhängig von Fakten sondern sehr emotional geprägt. Wir als Forscherinnen müssen verstehen, dass unser Fortschrittsglaube außerhalb der Wissenschaft in der Gesellschaft nicht geteilt. wird: "Meine Kinder werden es nicht so gut haben wie ich." Literatur und weiterführende Informationen
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| Social Choice | 20 Apr 2017 | 00:38:50 | |
Diese Folge ist eines von drei Gesprächen mit Mathematikerinnen und Mathematikern an der TU München (TUM) in Garching bei München, die Gudrun am 10. April 2017 dort geführt hat. Paul Stursberg - hat an der TUM Mathematik studiert und promoviert dort am Lehrstuhl Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik. Wir haben uns über Gruppenentscheidungsmodelle (Social Choice) unterhalten, in denen mitunter auch der Zufall Hilfestellung gibt. Da auch Zuordnung nach Vorlieben (allocation) auf das gleiche Grundproblem führt, wird das Thema unter den Forschungsinteressen von Paul Stursberg als Randomized Social Choice/Ressource Allocation aufgeführt. Das grundlegende Ziel bei Entscheidungen in einer Gruppe ist es, Einzelmeinungen zu einem fairen Gesamturteil zusammen zu führen. Am einfachsten ist es, einer als Anführer von allen anerkannten Person in ihrer Meinung zu folgen. Dieses Modell hat gute mathematische Eigenschaften, funktioniert immer, ist aber leider nicht besonders demokratisch. Je nachdem ob die Leitperson zur Gruppe gehört oder nicht wird es als Modell des internen/externen Diktators bezeichnet. Ein zunächst nahe liegender Zugang zur bestmöglichen Entscheidung in einer Gruppe wäre, eine Nutzenfunktion auzufstellen und danach zu optimieren. Das klingt überzeugend ist aber oft ein unmögliches Unterfangen, weil es sich als sehr schwierig erweist, Vorlieben so zu quantifizieren dass man über die Gruppe konstante Zahlenwerte für einen entstehenden Nutzen findet. Deshalb kann man statt dessen mit ordinalen Präferenzrelationen arbeiten, d.h. im einfachsten Fall mit einer gewünschten Reihenfolge aller Optionen für jede Person der Gruppe. Bevor man über Verfahren sprechen und diese bewerten kann, braucht man Kriterien, die Wahlverfahren (idealerweise) erfüllen sollen. Man muss definieren: Was ist eine gute und faire Entscheidung? Ein grundlegendes Kriterium wäre beispielsweise: Wenn alle der gleichen Meinung sind, sollte diese Meinung auch immer als Ergebnis der Gruppenentscheidung erscheinen. Ein etwas weitergehendes Kriterum könnte exemplarisch auch verlangen, dass das Ergebnis Pareto-optimal ist, es also kein anderes Ergebnis gibt, mit dem jedes Gruppenmitglied zufriedener wäre.
Ein bekanntes Beispiel für den letzten Fall ist der Satz von Arrow - ein Unmöglichkeitsresultat, das besagt, dass eigentlich sinnvolle Bedingungen an ein Wahlergebnis für mehr als zwei Optionen nicht gleichzeitig erfüllbar sind. Hinsichtlich der Fairness kommen Wahlverfahren intuitiv schon an ihre Grenzen, wenn sich zwei Leuten abstimmen sollen, die gegensätzliche Wünsche haben: Jede (deterministische) Entscheidung bevorzugt offensichtlich einen der beiden Beteiligten. Hier kann man sich den Zufall zunutze machen, um eine faire Entscheidung zu treffen, was auf das Gebiet der randomisierten Sozialwahltheorie (randomized social choice) führt. Hier hängen viele Kriterien plötzlich davon ab, welche lottery extension verwendet wird, also wie aus ordinalen Präferenzrelationen Präferenzen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet werden. Literatur und weiterführende Informationen
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| Ausgründung Chromatographie | 13 Apr 2017 | 00:40:13 | |
Mit Teresa Beck setzt Gudrun das 2014 mit Tobias Hahn geführte Gespräch fort. Die Software ChromX zur Computersimulation von Chromatographie-Säulen ist inzwischen Teil des Portfolios einer Ausgründung aus dem KIT mit dem Namen GoSilico. Neben Thiemo Huuk, der gleichzeitig mit Tobias Hahn im Rahmen seiner biotechnologischen Promotion die Kundenbedürfnisse für Chromatographie-Simulationen erforscht hat, und Tobias Hahn ist Teresa als dritte im Team Gründerin der im Januar 2016 an den Start gegangenen GmbH. Tobias ist Diplom-Mathematiker. 2010-2015 modellierte er im Rahmen seiner Promotion Aufreinigungsprozesse mit modernen mathematischen Simulationswerkzeugen. Es erwies sich als sinnvoll, dafür schließlich ganz in die Bio-Verfahrenstechnik zu wechseln. Teresa Beck ist hingegen Diplom-Meteorologin, deren Faszination für die Modellierung der Wetterphänomene am Computer schließlich zu einer Promotion in Mathematik am EMCL (erst in Karlsruhe und dann in Heidelberg) führte. Einige Zeit haben Gudrun, Tobias und Teresa in der gleichen Gruppe am Institut für Angewandte und Numerische Mathematik am KIT gearbeitet, bevor sich die Wege wieder trennten. Der Kern des Programms ChromX ist eine parallelisierte Finite Elemente Simulationssoftware für die Advektions-Diffusions-Gleichungen in Aufreinigungsprozessen. Die Benutzer sind jedoch keine mathematischen Experten, sondern in der Regel Laborantinnen und Laboranten. Deshalb ist es genauso wichtig, eine funktionierende Simulation zu realisieren, wie eine grafische Oberfläche zu schaffen, die ganz intuitiv die Laborerfahrung nachbildet und dabei die Mathematik "versteckt". Schließlich sollen teure Experimente ersetzt werden und dafür muß die Bedienung den Personen im Labor leicht fallen und möglichst Freude machen. Alle eigentlich für die Mathematik wichtigen Parameter, die auf Parallelisierung, Wahl nichtlinearer Löser oder schlechte Kondition des Problemes Einfluß nehmen, muss das Programm eigenständig sinnvoll setzen, denn für den normalen Benutzer sind diese unverständlich. Dafür müssen Parameter-Konfigurationen, die für die Bedienung gesetzt werden, von vornherein sinnvoll eingeschränkt werden, um die Stabilität und Korrektheit der Simulation zu gewährleisten. Daneben gibt es jedoch auch eine Experten-Lösung, wo ein Parameterfile direkt übergeben werden kann. Es ist immer etwas ungewiß, wie erfolgreich Ideen aus der Forschung in ein florierendes Unternehmen übersetzt werden können. Für die Gründung von GoSilico war aber in der ganzen Entwicklungsphase schon die Industrie-Tauglichkeit mitgedacht und geeignete Partner mit am Tisch. Durch die Präsentation der Erfolge mit der Forschungssoftware auf Tagungen gab es auch schon vor der Ausgründung viel Interesse an einer zukünftigen Zusammenarbeit. Deshalb lagen zur Gründung viele Letters of intent vor. Wichtiger Teil des Alltages im Unternehmen ist es jetzt, die Software zu verkaufen. Es dauerte in den Verhandlungen bisher zwischen 70 und 250 Tage bis Firmen wirklich die Software erwarben. Meist folgte auf eine schnelle Zustimmung aus den Fachabteilungen (die aber (leider noch) keine Budgets für solche Software haben) die länger währende Abklärung aller rechtlichen Verpflichtungen auf beiden Seiten bevor die zuständigen übergeordneten Stellen das Geld für den Kauf freigaben. Das liegt auch daran, dass diese Art von Chromatographie-Simulation noch ganz neuartig ist und die Abläufe in den Unternehmen schießlich neu ordnen wird. Wichtig für eine vertrauensvolle Zusammenarbeit ist, dass das interne Wissen der Firmen (intellectual property) geschützt bleibt (z.B. gegenüber anderen Firmen, die die Software auch erwerben oder schon benutzen). Nach etwas mehr als einem Jahr sind aber schon sechs große Kunden aus den weltweiten Top 20 gewonnen worden. Das Ziel für 2017 lautet, noch zwei weitere zu gewinnen. Dafür stehen die Chancen gut. Gerade wächst das Team um mehrere Personen, damit die Weiterentwicklung, Dokumentation und Zertifizierungsverfahren (nach TÜV oder ISO) auf mehr Schultern verteilt werden können. Literatur und weiterführende Informationen
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| Isoperimetrische Probleme | 16 Mar 2017 | 00:28:02 | |
Moritz Gruber hat an unserer Fakultät eine Doktorarbeit zu isoperimetrischen Problemstellungen verteidigt und spricht mit Gudrun Thäter über sein Forschungsgebiet. Ein sehr bekanntes Beispiel für ein solches Problem kommt schon in der klassische Mythologie (genauer in Vergils Aeneis) als Problem der Dido vor. Vergil berichtet, dass Dido als Flüchtling an Afrikas Küste landete und sich so viel Land erbat, wie sie mit der Haut eines Rindes umspannen kann. Was zunächst wie ein winziges Fleckchen Erde klingt, wurde jedoch durch einen Trick groß genug, um die Stadt Karthago darauf zu gründen: Dido schnitt die Tierhaut in eine lange Schnur. Das mathematische Problem, dass sich ihr anschließend stellte und das als Didos oder isoperimetrisches Problem bezeichnet wird ist nun: Welche Fläche mit einem Umfang gleich der vorgegebenen Schnurlänge umfasst den größten Flächeninhalt? Natürlich wird dieses Problem zunächst etwas idealisiert in der Euklidischen Ebene gestellt und nicht in der konkreten Landschaft Karthagos. Es ist ein schwieriges Problem, denn man kann nicht alle Möglichkeiten ausprobieren oder einfach die Fälle durchkategorisieren. Andererseits liegt die Vermutung sehr nahe, dass der Kreis die Lösung ist, denn man kann sich schnell überzeugen, dass Symmetrien ausgenutzt werden können, um die eingeschlossene Fläche zu maximieren. Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen und schöpft diese Konstruktion deshalb gut aus. Trotzdem war ein stringenter Beweis erst im 18. Jh. mit den bis dahin entwickelten Methoden der Analysis möglich. Unter anderem mussten Verallgemeinerungen des Ableitungsbegriffes verstanden worden sein, die auf dieses Optimierungsproblem passen. Moritz Gruber interessiert sich für Verallgemeinerungen von isoperimetrischen Problemen in metrischen Räume, die in der Regel keinen Ableitungsbegriff haben. Die einzige Struktur in diesen Räumen ist der Abstand. Eine Möglichkeit, hier Aussagen zu finden ist es, das Verhalten für große Längen zu untersuchen und das Wachstum von Flächen in Abhängigkeit vom Wachstum des Umfangs zu charakterisieren. Naheliegend ist eine Approximation durch umschriebene und einbeschriebene Quadrate als obere und untere Schranke für die Fläche, die tatsächlich umschlossen und nicht so einfach berechnet werden kann. Außerdem interessieren ihn Verallgemeinerung auf Lie-Gruppen. Sie sind gleichzeitig differenzierbare Mannigfaltigkeit und Gruppe. Die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung ist kompatibel mit der glatten Struktur. Die Übertragung der isoperimetrischen Probleme und mathematischen Methoden in höhere Dimensionen ergibt sehr viel mehr Möglichkeiten. In der Regel sind hier sind die unteren Schranken das schwierigere Problem. Eine Möglichkeit ist der Satz von Stokes, weil er Maße auf dem Rand und im Inneren von Objekten vernküpfen kann. Literatur und weiterführende Informationen
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| New York | 23 Feb 2017 | 00:32:18 | |
Eva-Maria Walz und Kathrin Kadel studieren Mathematik und Verfahrenstechnik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und trafen sich in einem Softwarepraktikum zu Strömungssimulationen von Mathias Krause und erhielten darauf die Chance auf ein Auslandspraktikum am City College of New York (CCNY) in den USA, von dem sie uns im Gespräch mit Gudrun Thäter erzählen. Die ersten Eindrücke waren überwältigend; auf der einen Seite Campusgebäude wie Kathedralen, auf der anderen Seite sehr viel Sicherheitspersonal und häufige Ausweiskontrollen. Nachdem die ersten organisatorischen Hürden überwunden waren, konnten sie sehr schnell in der Gruppe um Prof. Taehun Lee (Ph.D.) mitarbeiten. Ihr Thema war die Sedimentation von Partikeln einmal auf Basis von OpenFOAM und einmal auf Basis von OpenLB. Speziell ging es um die Modellierung von kreis- und kugelförmigen Partikeln und der Interaktion zweier Partikel und dem Vergleich von Ergebnissen und Performance. Die beiden wurden während ihres Praktikums sowohl von der Gruppe in New York als auch von der Gruppe in Karlsruhe weiter betreut und hatten die Gelegenheit an externen Workshops in New York teilzunehmen. Sehr spannend fanden die beiden auch den Einblick in die andere Lehr- und Lernkultur in den Vereinigten Staaten. Da das Praktikum in die Zeit der Präsidentschaftswahl 2016 fiel, war ihr Aufenthalt geprägt von rückschrittlichen Einstellungen zur Immigration, der geschlechtlichen Gleichberechtigung und Rolle der Bildung in der Gesellschaft. Neben den Reaktionen auf die Wahl in der Gesellschaft erlebten sie auch die Reaktionen der internationalen Forschungsgruppe, bei der sie zu Gast waren. Der Aufenthalt wäre ohne Baden-Württemberg-Stipendium nicht möglich gewesen und die Wohnungssuche ist in einer Stadt wie New York nur vor Ort möglich. Die Organisation für einen akademischen Aufenthalt sollte man auf jeden Fall mit viel zeitlichem Vorlauf einplanen. Die Chancen durch einen Auslandsaufenthalt sind aber immer den Aufwand für die Organisation wert. | |||
| Topologieoptimierung | 16 Feb 2017 | 00:39:10 | |
Margarita An hat ihre Masterarbeit im Rahmen einer Zusammenarbeit mit Dassault Systèms Deutschland (mit Sitz im Technologiepark in Karlsruhe) geschrieben. Sie hat Technomathematik mit dem technischen Nebenfach Maschinenbau studiert. Deshalb war sie daran interessiert für ihre Abschlußarbeit eine mathematische Fragestellung für eine möglichst konkretes Problem im Maschinenbau zu finden. Nun hat sie eine neue Optimierungsstrategie entwickelt und implementiert, die Eulersche Formoptimierung mit Topologieoptimierung kombiniert. Formoptimierung bedeutet, ein Modell in seiner Form so zu verändern, dass ein bestimmtes Zielfunktional - z.B. die Spannungsbilanz im Körper - minimal wird. De Facto bedeutet das, dass die Oberfläche des Körpers bzw. sein Rand im Optimierungsprozess verändert wird. Eulersch heißt hierbei, dass die Geometrie des Randes mit Hilfe von Kontrollpunkten auf einem festen Netz definiert wird, während sich in der Lagrange-Formulierung das Netz während des Optimierungsprozesses verändert. Letzteres führt jedoch zu einer Abhängigkeit aller Algorithmen und Rechnungen von den Rechengitterknotenkoordinaten. Hierfür dienen insbesondere regelmäßige Finite Elemente (kurz FE) Netze aus Quadraten bzw. Würfeln als Rechengitter. Die Kontrollpunkte sind dann die Designvariablen. Die Idee ist es, die Beschreibung des Randes vom FE-Netz zu trennen, d.h. die Oberfläche kann sich durch das Rechengitter "bewegen", ohne es zu beachten. Anstatt im Rechengitter Knoten mit dem Rand zu verändern, wird in dem betroffenen Teilgebiet des Modells ein Pseudodichtefeld wie von Topologieoptimierung bekannt, bestimmt. Dementsprechend kann die topologische Sensitivität mit einem Topologieoptimierungs-Werkzeug (z.B. Tosca Structure oder anderer CAD-Software) berechnet werden. Entscheidend dafür dass das gut funktioniert ist, dass die Abbildungsfunktion, welche topologische Sensitivität in Formoptimierungs-Sensitivität transformieren kann, linear ist. Falls sich während des Optimierungsprozesses die FE-Netze ändern dürfen, vereinfacht das die Optimierung erheblich - vor allem die Sensitivitäts-Analyse. Auf der anderen Seite, ist die Beschreibung der Geometrie in Bezug auf die Randkurven oder Oberflächen natürlich etwas komplizierter. Wie die in der Arbeit vorgestellten Beispiele zeigen, ermöglicht der modifizierte Ansatz für Eulersche Formoptimierung jedoch durchaus optimale Lösungen ohne Gitter-Verformungen. Es gibt sogar ein recht einfaches Beispiel dafür, dass der Lagrange-Ansatz versagt, während der Eulersche Ansatz schnell die gewünschte Lösung findet. Literatur und weiterführende Informationen
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| Fußgängergruppen | 09 Feb 2017 | 00:32:38 | |
Mathias Zeleny hat sich im Rahmen seiner Masterarbeit damit beschäftigt, wie man in Fußgängersimulationen berücksichtigen kann, dass Menschen oft in Gruppen unterwegs sind. Natürlich wäre für realistische Simulationsergebnisse die Berücksichtigung von Gruppen sehr wichtig. Besonders deutlich wird das an so katastrophalen Ereignissen wie den Unglücksfällen im Rahmen des Haddsch in Mekka. Allerdings gibt es bisher kein allgemain akzeptiertes Modell für Gruppen in Fußgängersimulationen. Was ist die Hauptcharakteristik des Verhaltens einer Fußgängergruppe? Dass die Personen in der Regel nah beieinander bleiben. Allerdings ist dies sehr vage und wird beispielsweise an Hindernissen auch durchbrochen. Das "nah beieinander bleiben" läßt sich durch anziehende Kräfte modellhaft darstellen. Mathias betrachtete hierfür drei Modelle:
Um mit diese Modelle zu testen, hat Mathias ein Interface programmiert, in dem diese Gruppenmodelle für verschiedene Szenarien durchgespielt wurden. Die gewählten Geometrien waren dabei:
Die Reaktion auf die Anziehungskräfte der Gruppe und des Ziels und die Abstoßung der Wände und Hindernisse liefert die Trajektorien für alle Fußgänger, die automatisch bewertet werden, ob sie mit der Realität mehr oder weniger gut übereinstimmen. Dafür musste er möglichst objektive Regeln aufstellen und diese dann überprüfen. Prototypisch wurden von ihm folgende Kriterien ausgewählt:
Die zugehörigen Bewertungsfunktionen wurden je auf Werte zwischen 0 und 1 normiert und anschließend entweder arithmetisch gemittelt oder für notwendige Bedingungen multipliziert. Die Ergebnisse erwiesen sich als noch nicht sehr aussagekräfitg. Als großes Problem stellte sich nämlich heraus, dass die Zeitdiskretisierung für die Gruppensimulationen unbedingt feiner gewählt werden muss als es in der herkömmlichen Fußgängersimulation üblich ist, da in nur einem Zeitschritt oft ein "in die Wand laufen" unausweichlich ist, wenn die Abstoßungskräfte zwischen Personen realistisch gewählt werden. Ein Gewinn ist darüber hinaus die formalisierte und objektifizierte Schnittstelle zur Evaluation von Gruppenmodellen, mit denen in Zukunft weiter in diesem Bereich geforscht werden kann. Literatur und weiterführende Informationen
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| Akkumulatoren | 02 Feb 2017 | 00:53:56 | |
Markus Maier hat 2016 in der Arbeitsgruppe des Instituts für Angewandte und Numerische Mathematik am KIT promoviert, in der auch Gudrun arbeitet. Sein Thema war The Mathematical Analysis of a Micro Scale Model for Lithium-Ion Batteries. Wie der Name der Arbeit suggeriert, betrachtet er Modelle für Lithium-Ionen-Akkumulatoren (die englische Übersetzung ist für uns Deutsche etwas irreführend Batteries), die auf mikroskopischer Ebene die Stromabgabe über die elektrochemischen Eigenschaften vorhersagen können. Ausgangspunkt des Themas war der Wunsch Degradationsmechanismen - also die Alterung der Akkus - besser zu verstehen. Das Thema Strom speichern ist sehr wichtig und wird in Zukunft noch wichtiger werden. Simulationen sind hier nötig, da jedwedes Messen auf der Mikroskala unmöglich ist - es geht um Objekte von der Größe einiger Mikrometer. Das Ausweichen auf die besser durch Messungen begleitbare makroskopische Ebene im Modell ist nicht möglich, weil man nur auf der Ebene der Ionen die Abläufe nachbilden kann, die zur Alterung führen. Ein Beispiel für so einen Prozess ist, dass die Lithium Ionen nach der Wanderung durch das Elektrolyt in der Kathode auf Platzproblem treffen, die dazu führen können, dass die Katode beschädigt wird, wenn sich die Ionen den nötigen Platz verschaffen. Diese Beschädigungen führen zu Reduzierung der Kapazität. Leider ist die modellhafte Auflösung der ganzen Mikrostruktur einer Batterie numerisch noch unmöglich - weshalb die Untersuchung der Arbeit im Moment nur lokale Ergebnisse enthält. Die kristalline Struktur in der Kathode kann es auch ermöglichen, dass sich eine zweite Phase bildet, in der sich mehr Lithium-Partikel anlagern als ursprünglich Platz in der Kathode ist. Das führt auf ein 2-Phasen-Problem mit einem Phasenübergang. Der Rand zwischen den Phasen ist dann Teil der gesuchten Lösung des Problems. Dieser Teil ist im Moment noch nicht im Modell enthalten. Schließlich hat sich Markus darauf konzentriert, ein Kompromiss-Modell der Ingenieure zu untersuchen, das im Wesentlichen auf Erhaltungseigenschaften beruht. Es hat die Form eines Systems von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für das elektrische Potential und die Lithium-Ionen-Verteilung, welche in den zwei aneinander grenzenden Gebieten gelten. Am Grenzübergang zwischen Elekrolyt und Lithium-Partikeln gilt eine nichtlinearen Gleichung. Die Argumente gelten allerdings nur für ein klein genug gewähltes Zeitintervall, weil ein konstanter Strom als Entaldungs-Randbedingung gewählt wurde (nur für kurze Zeiten realistisch). Für Modelle, die Degradation simulieren können, wären andere Randbedingungen nötig wie beispielsweise ein konstanter Widerstand. Ein Masterstudent hat mit dem Open Source Finite-Elemente-Solver deal.II das vorgeschlagene Verfahren im Rahmen seiner Abschlussarbeit programmiert und nachgewiesen, dass es funktioniert und die Resultate überzeugen können. Literatur und weiterführende Informationen
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| Finite Volumen | 26 Jan 2017 | 00:46:36 | |
Das Gespräch mit Susanne Höllbacher von der Simulationsgruppe an der Frankfurter Goethe-Universität war ein Novum in unserer Podcastgeschichte. Das erste mal hatte sich eine Hörerin gemeldet, die unser Interesse an Partikeln in Strömungen teilte, was sofort den Impuls in Gudrun auslöste, sie zu einem Podcastgespräch zu diesem Thema einzuladen. Susanne hat in der Arbeitsgruppe von Gabriel Wittum in Frankfurt promoviert. Dort werden Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Partiellen Differentialgleichungen benutzt. Das Verfahren betrifft hier insbesondere die räumliche Diskretisierung: Das Rechengebiet wird in Kontrollvolumen aufgeteilt, in denen durch das Verfahren sichergestellt wird, dass bestimmte Größen erhalten bleiben (z.B. die Masse). Diese Verfahren stammen aus dem Umfeld hyperbolischer Probleme, die vor allem als Erhaltungsgesetze modelliert sind. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass Fehler nicht automatisch geglättet werden und abklingen sondern potentiell aufgeschaukelt werden können. Trotzdem ist es möglich, diese numerischen Verfahren ähnlich wie Finite-Elemente-Verfahren als Variationsprobleme zu formulieren und die beiden Familien in der Analyse etwas näher zusammenrücken zu lassen. Gemeinsam ist ihnen ja ohnehin, dass sie auf große Gleichungssysteme führen, die anschließend gelöst werden müssen. Hier ist eine billige und doch wirkungsvolle Vorkonditionierung entscheidend für die Effizienz und sogar dafür, ob die Lösungen durch das numerische Verfahren überhaupt gefunden werden. Hier hilft es, schon auf Modell-Ebene die Eigenschaften des diskreten Systems zu berücksichtigen, da ein konsistentes Modell bereits als guter Vorkonditionierer fungiert. Das Promotionsprojekt von Susanne war es, eine Methode zur direkten numerischen Simulation (DNS) von Partikeln in Fluiden auf Basis eines finite Volumen-Verfahrens zu entwickeln. Eine grundsätzliche Frage ist dabei, wie man die Partikel darstellen möchte und kann, die ja winzige Festkörper sind und sich anders als die Strömung verhalten. Sie folgen anderen physikalischen Gesetzen und man ist geneigt, sie als Kräfte in die Strömung zu integrieren. Susanne hat die Partikel jedoch als Teil des Fluides modelliert, indem die Partikel als finite (und nicht infinitesimal kleine) Volumen mit zusätzlicher Rotation als Freiheitsgrad in die diskreten Gleichungen integriert werden. Damit fügen sich die Modelle für die Partikel natürlich und konsistent in das diskrete System für die Strömung ein. Vorhandene Symmetrien bleiben erhalten und ebenso die Kopplung der Kräfte zwischen Fluid und Partikel ist gewährleistet. Die Nebenbedingungen an das System werden so formuliert, dass eine Sattelpunkt-Formulierung vermieden wird. Die grundlegende Strategie dabei ist, die externen Kräfte, welche bedingt durch die Partikel und deren Ränder wirken, direkt in die Funktionenräume des zugrundeliegenden Operators zu integrieren. In biologischen Systemen mit hoher Viskotität des Fluides fungiert die Wirkung der Partikel auf das Fluid als Informationstransport zwischen den Partikeln und ist sehr wichtig. In der Umsetzung dieser Idee verhielten sich die Simulationen des Geschwindigkeitsfeldes sehr gutartig, aber Susanne beobachtete Oszillationen im Druck. Da sie sich nicht physikalisch erklären ließen, musste es sich um numerische Artekfakte handeln. Bei näherem Hinsehen zeigte sich, dass es vor allem daran lag, dass die Richtungen von Kraftwirkungen auf dem Rand der Partikel im diskreten System nicht sinnvoll approximiert wurden. In den berechneten Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld hat sich dies kaum messbar niedergeschlagen. Im Druck zeigte sich jedoch, dass es sich lohnt, hier das numerische Verfahren zu ändern, so dass die Normalenrichtungen auf dem Rand jeweils korrekt sind. Mathematisch heißt das, dass die Ansatzfunktionen so geändert werden, dass deren Freiheitsgrade auf dem Rand liegen. Der Aufwand dafür ist vergleichsweise gering und die Resultate sind überzeugend. Die Oszillationen verschwinden komplett. Der Nachweis der Stabilität des entstehenden Gleichungssystems lässt sich über die inf-sup-Bedingung des orginalen Verfahrens erbringen, da die Konstruktion den Raum in der passenden Weise erweitert. Literatur und weiterführende Informationen
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| Oszillationen | 23 Apr 2021 | 00:30:51 | |
Diese Folge entstand im Rahmen eines Projekts zur Modellbildungsvorlesung von Gudrun. Es ist eine Arbeit von Yannik Brenner, Bastian Hasenclever und Urs Malottke, die das Ziel haben, in einigen Jahren Mathematik und Physik am Gymnasium zu unterrichten. Außerdem macht Yannik selbst Musik und hat sich deshalb ganz praktisch mit Schwingungen an der Gitarre beschäftigt. Die drei hatten die Idee, dass man das Thema Schwingunge interessant für die Schule aufbereiten kann, wenn es dazu auch Hörbeispiele gibt. Deshalb haben Sie sich an einen Tisch gesetzt, das Gespräch und die Hörbeispiele aufgenommen und schließlich den Text dazu aufgeschrieben. Ein schwingfähiges System besitzt verschiedene Eigenschaften, mit deren Hilfe das gesamte System beschrieben werden kann. Um den harmonischen Oszillator zu verstehen, kann man sich zuerst die Bewegungsgleichung ansehen, also die Gleichung, die die aktuelle Lage des Systems beschreibt. Ausgangspunkt ist die Rückstellkraft, die im mechanischen Fall linear von der Auslenkung zur Ruhelage, also dem aktuellen Ort, abhängt (auf nicht-mechanische Einsatzgebiete wird später eingegangen). Die Rückstellkraft kann mit einer Variablen , die von verschiedenen Merkmalen des Systems abhängt, gemeinsam mit dem Ort also als dargestellt werden. Die Kraft kann auch als Beschleunigung , also der zweifachen Ableitung des Ortes, mal der Masse ausgedrückt werden, wodurch die Formel auch folgendermaßen aussehen kann: Diese Art von Formeln, in der eine Größe gemeinsam mit einer ihrer Ableitungen auftritt, wird Differentialgleichung genannt. Die Lösung der Funktion für den Ort muss eine Funktion sein, die nach zweimaligem Ableiten bis auf einen Vorfaktor und das Vorzeichen wieder die Ursprungsfunktion ist. Deshalb sind Sinus- und Cosinus-Funktionen, oder die äquivalente Darstellung durch die e-Funktion (siehe Eulersche Formel), Lösungen. Werden nun gewählt, wobei und die Amplituden, also maximalen Auslenkungen der Schwingungen darstellen, kann mit den Ableitungsregeln überprüft werden, dass dies Lösungen für die Bewegungsgleichung sind. Als Summe zweier Lösungen ist auch Eine Lösung, die die allgemeine Lösung genannt wird. Die beiden Amplituden der einzelnen Sinus-/Kosinus-Funktion müssen dabei aus Anfangsbedingungen bestimmt werden. Man sieht, dass die Amplitude der beobachtbaren Schwingung sein muss, also der maximalen Auslenkung, die beim Zeitpunkt vorliegt, da die Gesamtschwingung zum Zeitpunkt diese Auslenkung annehmen muss und zu diesem Zeitpunkt der Sinus verschwindet: Die Amplitude der Sinus-Funktion bestimmt sich nach und spielt daher dann eine Rolle, wenn zum Zeitpunkt bereits eine Geschwindigkeit vorliegt, das System also nicht aus der Ruhe losgelassen, sondern angestoßen wird. Zu besprechen ist allerdings noch, wie die Gleichung bei einem anderen Pendel als dem Federpendel aussieht. Das Prinzip des Oszillators bleibt gleich und somit natürlich auch die Mathematik, die ihn beschreibt. Allerdings setzt sich bei anderen Pendeln anders zusammen, da bei ihnen andere Rückstellkräfte und andere Systemeigenschaften eine Rolle spielen und nicht die Federkonstante und Masse wie beim Federpendel. So gilt beim Fadenpendel wobei die klassische Gravitationskonstante ist, die beim Fadenpendel eine große Rolle für die Rückstellkraft einnimmt, und die Fadenlänge darstellt. Werden Oszillatoren außerhalb der Mechanik betrachtet, beispielsweise der elektrische Schwingkreis, ergibt sich aus den Eigenschaften, die dieses System beschreiben. Beim elektrischen Schwingkreis z.B. aus der Induktivität der Spule und der Kapazität des Kondensators: Um die Sinus-förmige Schwingung eines Oszillators zu beschreiben, werden noch weitere Begriffe verwendet, die jedoch aus den bisher vorgestellten Eigenschaften bestimmt werden können. So wird unter der Schwingungs- oder Periodendauer die Zeit verstanden, die das System für eine vollständige Schwingung benötigt. Da sie als Informationen die Anzahl an Schwingungen und eine Zeit enthält, muss sie eng mit der Eigenfrequenz zusammenhängen: Ungedämpfter harmonischer Oszillator Immer dann, wenn ein schwingfähiges System mit der obigen Gleichung beschrieben werden kann, handelt es sich um einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Denn an der Gleichung wird klar, dass die Amplitude, also die maximale Auslenkung, auch bei der 20ten, 100ten, 10.000ten Schwingung wieder erreicht wird. Da sich die Systemeigenschaften ohne äußere Einflüsse ebenfalls nicht ändern, ändert sich das Verhalten dieses Oszillators nie und er schwingt stets gleich um die Ruhelage. Nach der mathematischen Herleitung ist schon fast alles zum ungedämpften harmonischen Oszillator gesagt, denn: Reale Beispiele und Anwendungen gibt es nicht! In der Realität gibt es immer einen Widerstand, der den Oszillator ausbremst und die Auslenkung langsam kleiner werden lässt. Aus diesem Grund ist der ungedämpfte Oszillator nur zum Kennenlernen und Verstehen des Verhaltens sowie als Näherungslösung geeignet. Beim gedämpften harmonischen Oszillator existiert eine bremsende Kraft. Das ändert die mathematische Beschreibung in der Differentialgleichung. Die Bewegungsgleichung des Federpendels (und äquivalent die Gleichungen anderer Oszillatoren) wird um einen Term ergänzt, der im einfachen Fall der Reibung in der Luft, also einem Reibungskoeffizienten und proportional zur Geschwindigkeit ist: Oft wird zu zusammengefasst, um das rechnen zu vereinfachen. Die zu lösende Differentialgleichung wird auf die gleiche Art gelöst, wird aber natürlich komplizierter. Als Lösungsansätze empfehlen sich wieder Sinus-, Cosinus- oder e-Funktion. Mit dem Ansatz ergeben sich Lösungen, wenn die folgende Gleichung erfüllt: Je nachdem, wie das Verhältnis von Dämpfung und Eigenfrequenz sind, werden verschiedene Fälle unterschieden: Schwach gedämpfter FallDer schwach gedämpfte Fall tritt auf, wenn gilt. Somit ist die Zahl unter der Wurzel bei der Berechnung von negativ und die Wurzel selbst imaginär. Mit der verkürzten Schreibweise ergibt sich die allgemeine Lösung zu was im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung eine Schwingung mit kleinerer Frequenz (da ) und einer mit der Zeit exponentiell abnehmenden Amplitude darstellt. Eine andere Darstellungsweise ist folgende: Hier ist die exponentielle Abnahme der Amplitude besser ersichtlich, allerdings ist dazu das Verständnis des Zusammenfassens zweier auftretender periodischer Funktionen mittels Phasenverschiebung nötig. Aperiodischer Grenzfall In Anwendungen ist es oft gewollt, eine Schwingung schnellstmöglich zu stoppen und zur Ruhelage zurückzukehren. Wenn eine Dämpfung keine komplette Fixierung in einem Zustand beinhaltet, ist eine überstarke Dämpfung dabei aber nicht zielführend, wie intuitiv oft angenommen wird. Um die Schwingung schnellstmöglich zu stoppen, ist die Bedingung nötig. Somit verschwindet in der Berechnung von die Wurzel und es bleibt nur eine Lösung übrig, was für die Schwingung zu führt, wobei und aus den Anfangsbedingungen, also Auslenkung und Startgeschwindigkeit, bestimmt werden.
Zwar führt eine starke Dämpfung auch dazu, dass keine Schwingung stattfindet, allerdings braucht das System lange, um wieder in die Ruhelage zurückzukehren. Deshalb wird dieser Fall auch als Kriechfall bezeichnet. Mathematisch wird er mit der Bedingung wobei und wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Vergleich des Kriechfalls mit dem aperiodischen Grenzfall Um zu zeigen, dass die vorgestellten Fälle alle von Nutzen sind, werden nun einige Anwendungsbeispiele vorgestellt. So ist der Fall der schwachen Dämpfung für Saiteninstrumente wichtig, da die einzelnen Saiten sich nicht sofort wieder in die Ruhelage begeben dürfen, sondern schwingen müssen, um überhaupt einen Ton erzeugen zu können. Der aperiodische Grenzfall ist beispielsweise für Autofahrer sehr wichtig, da die Stoßdämpfer nach diesem Prinzip funktionieren. Das hat den einfachen Grund, dass das Auto nach der Beanspruchung der Stoßdämpfer schnell wieder in die ideale Straßenlage kommen soll. Würde eine schwache Dämpfung verwendet werden, so würde das Auto noch für längere Zeit auf und ab wippen und die Fahrt eher einer Bootstour ähneln, was wenig komfortabel ist. Bei starker Dämpfung könnte es vorkommen, dass die nächste Beanspruchung nicht ausreichend abgefedert werden kann, da die Feder noch zu stark eingefedert ist. Aber auch die starke Dämpfung hat ihre Anwendungsgebiete. So sind beispielsweise viele Türen in öffentlichen Gebäuden stark gedämpft. Das sorgt für ein langsames und leises Schließen der Türen und verhindert, dass die Tür einer unaufmerksamen Person mit zu viel Geschwindigkeit entgegenfällt und diese eventuell verletzt. Getriebener Oszillator Bisher wurde der Oszillator ohne äußere Kräfte betrachtet. Liegt solch eine Kraft vor, muss diese in die Bewegungsgleichung integriert werden: Interessant ist dieser Fall besonders dann, wenn es sich bei der Kraft um eine periodische Kraft handelt, also . Dieser Fall ist sehr gut mit einem schaukelndem Kind zu vergleichen, welches immer zum gleichen Zeitpunkt mit der gleichen Kraft angeschubst wird. Die partikuläre Lösung lässt sich mit dem Ansatz des Typs der rechten Seite lösen und ergibt sich zu dabei handelt es sich bei um eine Phasenverschiebung zwischen der antreibenden Kraft und dem um den Ruhepunkt schwingenden Massepunkt. Für den niederfrequenten Bereich gilt, dass die Frequenz der antreibenden Kraft sehr viel kleiner ist als die Eigenfrequenz des Oszillators. Aufgrund dessen ist die Amplitude der anregenden Kraft in etwa so groß wie die Amplitude des Massepunktes. Das Amplitudenverhältnis beträgt also ungefähr 1. Der Phasenunterschied zwischen den beiden Schwingungen ist in etwa 0. Resonanzfall:Von Resonanz wird gesprochen, wenn die Frequenz der antreibenden Kraft der Eigenfrequenz des Oszillators gleicht. Infolgedessen erhöht sich die Amplitude des Oszillators gegenüber der Amplitude des Erregers, sodass sich ein Amplitudenverhätnis ergibt, welches größer 1 ist. Die Phasendifferenz beträgt , wobei der Erreger dem Massepunkt vorauseilt. Hochfrequenter Bereich:Sollte die Frequenz der antreibenden Kraft viel größer sein als die Eigenfrequenz des Oszillators so fällt auch die Amplitude des Oszillators wesentlich kleiner aus. Es ergibt sich ein Amplitudenverhätnis, welches gegen 0 geht. Auch in diesem Fall gibt es eine Phasendifferenz , die Schwingungen laufen also fast gegenphasig ab. Auch diese Eigenschaften der Oszillatoren sind im Alltag von Bedeutung. So ist es für Autos wichtig, dass die Eigenfrequenz einzelner Teilsysteme oder des Gesamtsystems nicht im Bereich der Motorendrehzahl liegen um eine komfortable und sichere Fahrt zu gewährleisten. Insbesondere der Resonanzfall kann gefährliche Auswirkungen haben, da in diesem Fall das System immer weiter aufgeschaukelt wird und die Amplitude des Oszillators sich immer weiter erhöht. Falls das System nicht gedämpft ist, kann die Amplitude bis ins Unedliche steigen, was zur Zerstörung des Systems führt. Eine starke Dämpfung kann die maximale Amplitude zwar begrenzen, aber auch in diesem Fall komm es für den Resonanzfall zu einer starken Belastung des Systems, was in den meisten Fällen vermieden werden sollte. Ein gutes Beispiel für eine Resonanzkatastrophe ist die Tacoma Narrows Bridge, welche durch starke Winde in Schwingung versetzt wurde, welche sich dann selbsterregt immer weiter verstärkte, was den Einbruch der Brücke zur Folge hatte. Demgegenüber bleibt aber zu sagen, dass ohne Resonanz auch viele alltägliche Dinge nicht möglich wären, es also auch einen positiven Aspekt gibt. So würde Schaukeln nicht halb so viel Spaß machen, wenn es nicht möglich wäre seine eigene Schwingung zu verstärken und somit immer höher Schaukeln zu können. Ein weiteres typisches Beispiel für den getriebenen harmonischen Oszillator stellt der elektrische Schwingkreis da, der bei der drahtlosen Energieübertragung genutzt wird. Das System wird dabei ständig neu mit Energie aufgeladen, die es dann mittels sogenannter resonant induktiver Kopplung an einen Empfänger weitergeben kann, der so kabellos geladen wird. WeiterführendesViele weiterführende Beispiele, die sich des Oszillators mit schwacher Dämpfung bedienen, sind in der Akustik respektive Musik zu finden, wie die Schwingung einer (Gitarren-)Seite, die nach einmaligem Anschlag möglichst lange klingen soll. Doch hier handelt es sich nicht um einen einfachen harmonischen Oszillator, sondern um ein komplexeres System. Literatur und weiterführende Informationen
Podcasts
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| Rage of the Blackboard | 19 Jan 2017 | 00:42:21 | |
Constanza Rojas-Molina is a postdoc at the Institute of Applied Mathematics of the University of Bonn. Gudrun Thäter met her in Bonn to talk about Constanza's blog The Rage of the Blackboard. The blog’s title makes reference to an angry blackboard, but also to the RAGE Theorem, named after the mathematical physicists D. Ruelle, W. Amrein, V. Georgescu, and V. Enss." Standing at a blackboard can be intimidating and quite a few might remember moments of anxiety when being asked to develop an idea in front of others at the blackboard. But as teachers and scientists we work with the blackboard on a daily basis and find a way to "tame" its "rage". Gudrun and Constanza share that they are working in fields of mathematics strongly intertwined with physics. While Gudrun is interested in Mathematical Fluid dynamics, Constanza's field is Mathematical physics. Results in both fields very much rely on understanding the spectrum of linear (or linearized) operators. In the finite-dimensional case this means to study the eigenvalues of a matrix. They contain the essence of the action of the operator - represented by different matrices in differing coordinate systems. As women in academia and as female mathematicians Gudrun and Constanza share the experience that finding the essence of their actions in science and defining the goals worth to pursue are tasks as challenging as pushing science itself, since most traditional coordinate systems were made by male colleagues and do not work in the same way for women as for men. This is true even when raising own children does not enter the equation. For that Constanza started to reach out to women in her field to speak about their mathematical results as well as their experiences. Her idea was to share the main findings in her blog with an article and her drawings. When reaching out to a colleague she sends a document explaining the goal of the project and her questions in advance. Constanza prepares for the personal conversation by reading up about the mathematical results. But at the same moment she is interested in questions like: how do you work, how do you come up with ideas, what do you do on a regular day, etc. The general theme of all conversations is that a regular day does not exist when working at university. It seems that the only recurring task is daily improvisation on any schedule made in advance. One has to optimize how to live with the peculiar situation being pushed to handle several important tasks at once at almost any moment and needs techniques to find compromise and balance. An important question then is: how to stay productive and satisfied under these conditions, how to manage to stay in academia and what personal meaning does the word success then take. In order to distill the answers into a blog entry Constanza uses only a few quotes and sums up the conversation in a coherent text. Since she seeks out very interesting people, there is a lot of interesting material. Constanza focuses on the aspects that stay with her after a longer thought process. These ideas then mainly drive the blog article. Another part of the blog are two drawings: one portrait of the person and one which pictures the themes that were discussed and might not have made it into the text. Surprisingly it turned out to be hard to find partners to talk to, and the process to make it a blog entry takes Constanza a year or longer. On the other hand, she feels very lucky that she found women which were very generous with their time and in sharing their experiences. Besides the engagement and love for what they do, all the participants had this in common: they were already promoting the participation of women in science. To learn from them as a younger researcher means, for example, to see the own impact on students and that building a community is very important, and a success in its own. Though Constanza invests a lot of time in the blog project, it is worth the effort since it helps her to work towards a future either in or outside academia. Gudrun and Constanza found out that though both of their projects explore mathematical themes as well as people working in mathematics, the written parts of blog and podcast differ in that what makes it into the notes in Constanza's blog is, so to say, bonus material available only for the listening audience in Gudruns podcast (since it is never in the shownotes). In that sense, Gudrun's podcast and Constanza's blog are complementary views on the life of researchers. Constanza did her undergraduate studies in La Serena in Chile. She started out with studying physics but soon switched to mathematics in order to understand the basics of physics. When she had almost finished her Masters program in La Serena she wanted to continue in science abroad. She was admitted to a french (one year) Master program at the University Paris 6 and later did her PhD in the nearby University Cergy-Pontoise. After that she applied for a Marie-Curie fellowship in order to continue her research in Germany. She spent time as postdoc at the Mittag-Leffler-Institut in Stockholm and at CAMTP in Maribor (Slovenia) before moving to the LMU Munich for two years with the fellowship. After that she got the position in Bonn and is now preparing for her next step. Gudrun and Constanza want to thank Tobias Ried who put them in contact. References and further reading
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| Fraktale Geometrie | 05 Jan 2017 | 01:04:31 | |
Steffen Winter befasst sich mit fraktaler Geometrie, also mit Mengen, deren Dimension nicht ganzahllig ist. Einen intuitiven Zugang zum Konzept der Dimension bieten Skalierungseigenschaften. Ein einfaches Beispiel, wie das funktioniert, ist das folgende: Wenn man die Seiten eines Würfels halbiert, reduziert sich das Volumen auf ein Achtel (ein Halb hoch 3). Bei einem Quadrat führt die Halbierung der Seitenlänge zu einem Viertel (ein Halb hoch 2) des ursprünglichen Flächeninhalts und die Halbierung einer Strecke führt offenbar auf eine halb so lange Strecke (ein Halb hoch 1). Hier sieht man sehr schnell, dass die uns vertraute Dimension, nämlich 3 für den Würfel (und andere Körper), 2 für das Quadrat (und andere Flächen) und 1 für Strecken (und z.B. Kurven) in die Skalierung des zugehörigen Maßes als Potenz eingeht. Mengen, bei denen diese Potenz nicht ganzzahlig ist, ergeben sich recht ästhetisch und intuitiv, wenn man mit selbstähnlichen Konstruktionen arbeitet. Ein Beispiel ist der Sierpinski-Teppich. Er entsteht in einem iterativen Prozess des fortgesetzten Ausschneidens aus einem Quadrat, hat aber selbst den Flächeninhalt 0. Hier erkennt man durch die Konstruktion, dass die Skalierung ln 8/ln 3 ist, also kein ganzzahliger Wert sondern eine Zahl echt zwischen 1 und 2. Tatsächlich sind das Messen von Längen, Flächen und Volumina schon sehr alte und insofern klassische Probleme und auch die Defizite der beispielsweise in der Schule vermittelten Formeln beim Versuch, sie für Mengen wie den Sierpinski-Teppich anzuwenden, werden schon seit etwa 100 Jahren mit verschiedenen angepassten Maß- und Dimensionskonzepten behoben. Ein Dimensionsbegriff, der ganz ohne die Hilfe der Selbstähnlichkeit auskommt, wurde von Felix Hausdorff vorgeschlagen und heißt deshalb heute Hausdorff-Dimension. Hier werden Überdeckungen der zu untersuchenden Menge mit (volldimensionalen) Kugeln mit nach oben beschränktem (aber ansonsten beliebigem) Durchmesser angeschaut. Die Durchmesser der Kugeln werden zu einer Potenz s erhoben und aufsummiert. Man sucht unter allen Überdeckungen diejenigen, bei denen sich so die kleinste Durchmessersumme ergibt. Nun lässt man den maximal zulässigen Durchmesser immer kleiner werden. Die Hausdorff-Dimension ergibt sich als die kleinstmögliche Potenz s, für die diese minimalen Durchmessersummen gerade noch endlich bleiben. Ein verwandter aber nicht identischer Dimensionsbegriff ist die sogenannte Box-Dimension. Für hinreichend gutartige Mengen stimmen Hausdorff- und Box-Dimension überein, aber man kann zum Beispiel Cantormengen konstruieren, deren Dimensionen verschieden sind. Für die Box-Dimension kann der Fall eintreten, dass die Vereinigung abzählbar vieler Mengen der Dimension 0 zu einer Menge mit Dimension echt größer als 0 führt, was im Kontext von klassischen Dimensionen (und auch für die Hausdorff-Dimension) unmöglich ist und folglich eher als Hinweis zu werten ist, mit der Box-Dimension sehr vorsichtig zu arbeiten. Tatsächlich gibt es weitere Konzepte fraktale Dimensionen zu definieren. Interessant ist der Fakt, dass erst der Physiker und Mathematiker Benoit Mandelbrot seit Ende der 1960er Jahre eine intensivere Beschäftigung mit solchen Konzepten angestoßen hat. Er hatte in vielen physikalischen Phänomenen das Prinzip der Selbstähnlichkeit beobachtet - etwa dass sich Strukturen auf verschiedenen Größenskalen wiederholen. Wenn man z.B. ein Foto von einem Felsen macht und dazu keine Skala weiß, kann man nicht sagen, ob es sich um einen Stein, einen Ausschnitt aus einem mikroskopischen Bild oder um ein Kletterfelsen von 500m Höhe oder mehr handelt. Durch den Einzug von Computern an jedem Arbeitsplatz und später auch in jedem Haushalt (und den Kinderzimmern) wurde die Visualisierung solcher Mengen für jeden und jede sehr einfach möglich und führte zu einem regelrechten populärwissenschaftlichen Boom des Themas Fraktale. Schwierige offene Fragen im Kontext solcher fraktalen Mengen sind z.B., wie man Begriffe wie Oberflächeninhalt oder Krümmung sinnvoll auf fraktale Strukturen überträgt und dort nutzt, oder wie die Wärmeausbreitung und die elektrische Leitfähigkeit in solchen fraktalen Objekten beschrieben werden kann. Literatur und weiterführende Informationen
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| Julia Sets | 22 Dec 2016 | 00:58:09 | |
Pascal Kraft is a researcher at the Institute for Applied and Numerical Mathematics of the Karlsruhe Institute of Technology (KIT) and he introduces us to Julia Sets which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like Gaston Julia and Benoît Mandelbrot dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of Jan-Philipp Weiß, Pascal Kraft worked on the efficient computation of Julia Sets. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and keep repeating it over and over again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use complex numbers we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function , the Filled Julia Set is defined as the set of values , for whom the series stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function in this context is . We now look at the complex plane where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate we take the corresponding complex number and plug this value into our function and the results over and over again up to a certain degree until we see if this sequence diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. Since the function is applied over and over again, the intrinsic features are repeated in scaled and rotated forms over and over again, and this results in a self-similarity on infinite scales. In his bachelor's thesis, Pascal focussed on the efficient computation of such sets which can mean multiple things: it can either mean that the goal was to quickly write a program which could generate an image of a Julia Set, or that a program was sought which was very fast in computing such a program. Lastly it can also mean that we want to save power and seek a program which uses computational power efficiently to compute such an image, i.e. that consumes little energy. This is a typical problem when considering a numerical approach in any application and it arises very naturally here: While the computation of Julia Sets can greatly benefit from parallelization, the benefits are at loss when many tasks are waiting for one calculation and therefore the speedup and computational efficiency breaks down due to Amdahl's law. The difference of these optimization criteria becomes especially obvious when we want to do further research ontop of our problem solver that we have used so far. The Mandelbrot Set for example is the set of values , for whom the Filled Julia Set is not equal to the Julia Set (i.e. the Filled Julia Set has interior points). One detail is important for the computation of either of these sets: If we check one single point we can never really say if it is inside the Filled Julia Set for sure (unless we can prove periodicity but that is not really feasible). What we can show however is, that if the magnitude of a point in the series of computations is above a certain bound, the results will tend to infinity from this point on. The approach is therefore to compute steps until either a maximum of steps is reached or a certain threshold is exceeded. Based on this assumption, we see that computing a point which lies inside the filled Julia Set is the bigger effort. So if computing a Julia Set for a given parameter is a lot of work, its complex parameter most likely lies inside the Mandelbrot Set (as we find many points for whom the computation doesn't abort prematurely and it is therefore likely that some of these points will be interior). If we want to draw the Mandelbrot Set based on this approach, we have to compute thousands of Julia Sets and if the computation of a single image was to take a minute this would not really be feasible anymore. Since the computation of a Julia Set can even be done in a webbrowser these days, we include below a little tool which lets you set a complex parameter and compute four different Julia Sets. Have fun with our Interactive Julia Sets! References and further reading
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| Minimalflächen | 15 Dec 2016 | 00:58:50 | |
Lorenz Schwachhöfer ist seit 2003 Professor für Mathematik an der TU Dortmund. Gudrun kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der AG von Prof. Tuschmann in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur Differentialgeometrie. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die Krümmung und das Finden von Minimalflächen. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim Zylinder kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). Alle anderen Richtungen lassen sich daraus linear zusammensetzen. Die Kugeloberfläche hat z.B. eine hohe Symmetrie und verhält sich in allen Richtungen gleich. Alle Wege auf der Kugeloberfläche sind lokal Teile von Kreisen. Man kann sich hier auch überlegen, was tangential bedeutet, indem man in einem Punkt auf der Oberfläche eine Ebene anschmiegt. Die Richtung senkrecht auf dieser tangentialen Ebene ist die Normalenrichtung auf dem Punkt der Kugeloberfläche an dem die Tangentialebene anliegt. Tatsächlich gibt es für Flächen aber mehr als einen sinnvollen Krümmungsbegriff. Man kann z.B. einen Zylinder sehr schön in Papier "einwickeln". Bei einer Kugel geht das nicht - es bleibt immer Papier übrig, das man wegfalten muss. Wenn man einen Kühlturm einpacken möchte, reicht das Papier nicht für die nach innen einbuchtende Oberfläche. Die Eigenschaft, die wir mir dem Einwickeln veranschaulicht haben, wird mit dem Begriff der Gaußkrümmung ausgedrückt. Um sie zu berechnen, kann man in einem Punkt die oben definierten Richtungsskrümmungen anschauen. Maximal- und Minimalwerte werden für senkrecht aufeinander stehende Richtungen realisiert. Das Produkt der beiden extremen Krümmungen ergibt dann die Gaußkrümmung. In unserem Beispiel mit dem Zylinder ist die Gaußkrümmung also 0 mal 1/r = 0. Das ist aber tatsächlich ganz unabhängig von der Richtungskrümmung untersuchbar, weil es sich durch Längen- bzw. Flächenverhältnisse in der Fläche bestimmen lässt. Genauer gesagt: Wenn man auf der Kugel um einen Punkt einen Kreis auf der Kugeloberfläche zieht (d.h. seine Punkte liegen auf der Kugeloberfläche und haben alle den Abstand r vom gewählten Punkt), hat dieses Objekt einen kleineren Flächeninhalt als ein ebener Kreis mit dem gleichen Radius. Deshalb sagt man: Die Kugel hat positive Gaußkrümmung. Bei negativer Gaußkrümmung ist der Flächeninhalt auf der Oberfläche größer als in der Ebene. Das trifft für den Kühlturm zu. Diese Eigenschaft lässt sich innerhalb der Fläche untersuchen. Man braucht gar keine Einbettung in einen umgebenden Raum. Das ist zunächst sehr überraschend. Es ist aber unbedingt nötig für Anwendungen in der Astrophysik, wo die Raumzeit wegen der Gravitation gekrümmt ist (d.h. sie ist kein euklidischer Raum). Es hat aber niemand ein Bild, in welche höhere Dimension man die Raumzeit einbetten sollte, um dann mit der Krümmung in Bezug auf diesen Raum zu arbeiten. Neben den beiden schon diskutierten Begriffen kann man auch mit der mittleren Krümmung arbeiten. Sie ist definiert als Mittelwert aller Richtungskrümmungen. Man kannn aber zeigen, dass dies stets das arithmetische Mittel zwischen minimaler und maximaler Krümmung ist. Dies hat auch eine physikalische Interpretation - z.B. als Flächenspannung für eine Membran, die eingespannt ist. Die Membran versucht, einen möglichst geringen Flächeninhalt - eine sogenannte Minimalfläche - zu realisieren, weil dies dem minimalen Energieaufwand entspricht. Spannungsfreie Flächen sind sehr stabil und deshalb für Architekten interessant. Im Schülerlabor Mathematik kann man mit Seifenhäuten selbst ausprobieren, welche Flächen sich hier für unterschiedliche Randkurven herausbilden. Z.B. wurde die Dachkonstruktion des ehemaligen Olympiastadions in München aus Minimalflächen konstruiert, die mit Seifenhäuten gefunden, fotographiert und nachgebaut wurden.. Mathematisch sprechen wir vom Plateau-Problem. Die Frage ist dabei: Hat jede geschlossene Kurve mindestens eine zugehörige Minimalfläche? Heute wissen wir, dass die Antwort - unter sehr geringen Regularitätsforderungen an die Kurve - fast immer ja ist. Sehr verblüffendend ist in diesem Zusammenhang auch der Satz von Gauß/Bonnet. Er sagt, dass das Integral über die Gaußkrümmung jeder in sich selbst geschlossenen Fläche ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Dieser Faktor heißt dann Euler-Charakteristik und hängt nur von der Topologie (grob gesprochen der Zahl der Löcher im Gebiet) ab. Beim Torus ist sie 0 und für die Kugeloberfläche 2. Interessant ist in diesem Zusammenhang auch die Behandlung von nicht glatten Kurven bzw. Flächen mit Ecken und Kanten. An den Kanten ist das Konzept der Gaußkrümmung noch recht einfach übertragbar. Der betrachtete Kreis auf der Oberfläche klappt sich dabei um die Kante herum. An den Ecken geht das nicht so einfach, sondern führt auf komplexere Gebilde. Wenn man sich aber z.B. einen Würfel ansieht, hat dieser fast überall die Krümmung 0. Trotzdem ist er (topologisch gesehen) einer Kugel viel ähnlicher als einer Ebene. Hier kann man den Begriff der Gaußkrümmung richtig für Polyeder mit Kanten und Ecken verallgemeinern und der Satz von Gauß/Bonnet überträgt sich sinngemäß auf Polyeder. Das Integral wird zur Summe über die Polyederflächen und wir erhalten den wohlbekannten Polyedersatz:
Der Polyedersatz ist eigentlich ein kombinatorisches Ergebnis. Trotzdem zeigt sich hier, dass die topologischen Eigenschaften intrinsisch mit der Krümmung zusammenhängen, was sehr überraschend, aber auch sehr ästhetisch zwei einander sehr fremde Teilgebiete der Mathematik zusammenführt. Lorenz Schwachhöfer hat in Darmstadt und in New Orleans Mathematik studiert und nach seiner Promotion 1992 (in Philadelphia) u.a. wissenschaftlich Station gemacht an der Washington Universität (in St. Louis), dem Max Planck Institut für Mathematik in Bonn, der Universität in Leipzig (dort Habilitation) und an der Université Libre in Brüssel. Literatur und weiterführende Informationen
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| Vier Farben | 08 Dec 2016 | 00:49:55 | |
Torsten Ueckerdt arbeitet seit 2012 in der Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik an unserer Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT). Er hat an der TU Berlin Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit Jan Kratochvil. Er arbeitet unter anderem mit geometrischen Graphen. Graphen sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von Landkarten: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. Andere Beispiele für geometrische Graphen sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das Königsberger Brückenproblem und das Springerproblem. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das Vier-Farben-Problem. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. An diesem Beispiel zeigen sich auch deutlich einige typische Aspekte von Torstens Arbeit. Einerseits scheint es nicht sehr befriedigend, dass man auf Computer im Beweis nicht verzichten kann. Andererseits ist der schwierige Schritt eigentlich der erste und die hier entwickelte Idee ist in der Tat eine sehr allgemeine Methode, die inzwischen auch für andere Fragen immer wieder eingesetzt wurde. Sie ist also bedeutsamer als "nur" Hilfsmittel im Beweis des Vier-Farben-Satzes zu sein. Andererseits trägt die Idee zwar weit genug für das Problem, aber wahrscheinlich ist sie nicht wirklich optimal für die untersuchte Struktur, da noch zu viele Fälle zu betrachten bleiben, die dann brutal durchprobiert werden. So gibt es auch spannende Verallgemeinerungen des Vier-Farben-Problems die bis heute ungelöst sind. Beim sogenannten Earth-Moon Problem fragt man zum Beispiel was passiert wenn jedes Land der Erde zusätzlich eine Kolonie auf dem Mond errichtet und wir nun die Länder mit möglichst wenigen Farben einfärben wollen, so dass keine zwei Länder die auf der Erde oder auf dem Mond benachbart sind die gleiche Farbe erhalten. Wir wissen nur, dass die kleinste Anzahl benötigter Farben irgendwo zwischen 9 und 12 liegt. Es sind letztlich nicht die errechneten Zahlen (wie die vier im Vier-Farben-Satz) das eigentlich Interessante, sondern die für deren Bestimmung entwickelten neuen Methoden. Ein weiterer Aspekt ist die enge Verbindung von Kombinatorik und Geometrie. Die Tatsache dass in so vielen Fällen die kontinuierliche und überabzählbare Welt der Geometrie eindeutig durch die diskrete und endliche Welt der Kombinatorik beschrieben werden kann, ist faszinierend und immer wieder spannend. In der diskreten und kombinatorischen Geometrie versucht Torsten zum Einen geometrische Arrangements kombinatorisch zu beschreiben und zum Anderen kombinatorische Objekte, wie zum Beispiel Graphen, geometrisch zu realisieren. Die einfach formulierbaren Fragen in Torstens Arbeiten haben häufig schwierige Antworten bzw. entziehen sich einer Bearbeitung noch ganz. Nicht zuletzt liegt das auch daran, dass die Kombinatorik schnell mit der explodierenden Komplexität an die Wand fährt. Am Beispiel der Landkarte: Nur für zehn (oder weniger) Länder lassen sich Ideen relativ schnell (innerhalb eines Tages auf einem gängigen Computer) kombinatorisch ausprobieren - es hier genau 1.140.916 verschiedene Landkarten. Im Allgemeinen wächst die Anzahl der Landkarten allerdings exponentiell in der Anzahl der Länder - es gibt zwischen und viele Karten mit n Ländern. Die einzige realistische Möglichkeit geometrische Graphen zu untersuchen, bspw. in Hinblick auf ihre Färbungen oder Überdeckungen, besteht also in der rigorosen Analyse im wiederholten Wechsel zwischen Geometrie und Kombinatorik - eine Herausforderung die Kreativität und Kontinuität erfordert, aber viel Freude und Inspiration birgt. Literatur und weiterführende Informationen
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| Homogenization | 01 Dec 2016 | 00:56:00 | |
Andrii Khrabustovskyi works at our faculty in the group Nonlinear Partial Differential Equations and is a member of the CRC Wave phenomena: analysis and numerics. He was born in Kharkiv in the Ukraine and finished his studies as well as his PhD at the Kharkiv National University and the Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former Research Training Group 1294 Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. Gudrun Thäter talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. Photonic crystals are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the spectrum of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic selfadjoint operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in which is the half axis . Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are:
An interesting geometry in this context is a domain with periodically distributed holes. The question arises: what happens if the sizes of holes and the period simultaneously go to zero? The easiest operator which we can study is the Laplace operator subject to the Dirichlet boundary conditions. There are three possible regimes:
A traditional ansatz in homogenization works with the concept of so-called slow and fast variables. The name comes from the following observation. If we consider an infinite layer in cylindrical coordinates, then the variable r measures the distance from the origin when going "along the layer", the angle in that plane, and z is the variable which goes into the finite direction perpendicular to that plane. When we have functions then the derivative with respect to r changes the power to while the other derivatives leave that power unchanged. In the interesting case k is negative and the r-derivate makes it decreasing even faster. This leads to the name fast variable. The properties in this simple example translate as follows. For any function we will think of having a set of slow and fast variables (characteristic to the problem) and a small parameter eps and try to find u as where in our applications typically . One can formally sort through the -levels using the properties of the differential operator. The really hard part then is to prove that this formal result is indeed true by finding error estimates in the right (complicated) spaces. There are many more tools available like the technique of Tartar/Murat, who use a weak formulation with special test functions depending on the small parameter. The weak point of that theory is that we first have to know the resulat as the parameter goes to zero before we can to construct the test function. Also the concept of Gamma convergence or the unfolding trick of Cioranescu are helpful. An interesting and new application to the mathematical results is the construction of wave guides. The corresponding domain in which we place a waveguide is bounded in two directions and unbounded in one (e.g. an unbounded cylinder).
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| Partikelströmungen | 24 Nov 2016 | 00:44:45 | |
Thomas Henn hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von Feinstaub in den menschlichen Atemwegen, als Bildung von Sediment in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei Filtrationen. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus CT-Aufnahmen die genaue Geometrie des Naseninnenraums eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die Simulation von Strömungen mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die Lattice Boltzmann Methode (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die effektive Parallelisierung unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich
Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch
zu betrachten. Als sehr hilfreich hat sich eine ganz neue Idee herausgestellt: Partikelströmungen als bewegtes poröses Medium zu modellieren. D.h. für große Partikel stellt man sich vor, sie haben einen festen Kern und außen einen glatten Übergang in der Porösität zur reinen Fluidphase. Es zeigt sich, dass man dann sogar auf ein Modell verzichten kann, das die Kontakte der Partikel modelliert, weil sich die Partikel so natürlich in der Strömung bewegen, wie man es auch im Experiment beobachtet. Alle Berechnungen müssen validiert werden, auch wenn manchmal nicht ganz klar ist, wie das erfolgen kann. Zum Glück ist hier aber die enge Zusammenarbeit mit der Verfahrenstechnik am KIT eine große Hilfe, die die Computersimulationswerkzeuge auch für ihre Projekte nutzen und weiter entwickeln. Literatur und weiterführende Informationen
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| Schaukeln | 17 Nov 2016 | 00:18:24 | |
Helen hat am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) ihren Bachelor in Mathematik abgeschlossen. Als Bachelorarbeit hatte sie sich das Thema Schaukeln gewählt unter der Betreuung von Gudrun Thäter. Es geht darin um Modelle, die tatsächlich die Schaukel vom Spielplatz untersuchen. Die zentrale Frage, die durch die Modelle und daraus abgeleitete Simulationen beantwortet werden soll ist: Wie funktioniert das Schwung geben beim schaukeln? Eine grundlegende Idee (die Helen aus der Literatur entnommen hat) ist es, die Schaukel als Fadenpendel mit veränderlicher Fadenlänge anzusehen. Das liegt daran, dass das Schwung geben sich vor allem durch die Veränderung der Lage des Schwerpunkts erklärt, die dann im Modell als veränderliche Pendellänge eingeht. Fadenlänge als Funktion in der Zeit erwies sich als nicht praktikabel deshalb ist sie in Helens Modell nun eine Funktion von der Winkelauslenkung. Das führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Variable der Auslenkung. Reibungsverluste der Schaukel werden auf herkömmliche Art integriert und als proportional zur Geschwindigkeit des Massepunktes angenommen. Um realistische Parameter für Rechnungen zu gewinnen, konnten wir leider keine Experimente mit schaukelnden Kindern durchführen, sondern haben uns auf Computer-Simulation für unterschiedliche Konstellationen verlassen und Parameter für die realistisch erscheinenden Szenarien daraus entnommen. In der Arbeit enthalten sind nun neben dem theoretischen Modell auch unterschiedliche Fälle mit verschiedenen Seillängen und Personengrößen durchgerechnet und graphisch dargestellt. Zwei Ergebnisse, die man daraus ablesen kann sind, dass kürzere Schaukeln es einem leichter machen, sich aufzuschaukeln und große Leute einen Vorteil haben, weil sie ihren Schwerpunkt über eine größere Strecke verschieben können. Schließlich war es entscheidend für den Erfolg der Arbeit, sich an der richtigen Stelle Rat zu suchen. Literatur und weiterführende Informationen
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| Reguläre Strömungen | 10 Nov 2016 | 00:46:18 | |
Strömungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie wärmt oder kühlt. Strömungen zu beherrschen ist aber auch in vielen verfahrenstechnischen Zusammenhängen wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Strömungen beschreiben, eine große praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch für viele Computersimulationen genutzt wird, sind die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen (INS). Hier ist die strömende Substanz dem Wasser ähnlich genug, dass nur in der Materialkonstante Viskosität verschiedene Fließfähigkeiten unterschieden werden. Als Lösungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der Impulserhaltung abgeleitet wird und die vierte ist die Erhaltung der Masse. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen müssen im Strömungsgebiet gelten. Die Lösungen müssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am räumlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) genügen. Dieses Modell ist in einem längeren Prozess entwickelt worden. Ein großer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem französischen Mathematiker Leray im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, für diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende Lösung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den Lösungsbegriff und führte den Begriff der schwachen Lösung ein. Diese erfüllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgeklügelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen Lösungen haben. Heute ist bekannt, dass
Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache Lösung regulär bzw. stark ist (d.h. eine punktweise Lösung ist.) In Vorbereitung auf den Jahrtausendwechsel gab es in der Mathematik die Bestrebung, so wie dies 100 Jahre zuvor von Hilbert geschehen war, die wichtigsten mathematischen Problemstellungen in den Fokus zu nehmen. Das Ergebnis waren sieben sogenannte Milleniumsprobleme der Clay Foundation, für deren Lösung jeweils ein Preisgeld von einer Millionen Dollar ausgelobt wurde. Eines dieser für so wichtig angesehenen Probleme ist die offene Frage der Regularität der schwachen Lösungen der INS. Woran liegt das? Eine Eigenschaft der INS, die sie schwierig macht, ist ihre Nichtlinearität. Sie ist nur quadratisch und hat eine besondere Struktur. Diese Struktur verdanken wir es z.B., dass die schwache Theorie erfolgreich ist. Es besteht Hoffnung, dass wir auch die Lücke zur starken Theorie unter Ausnutzung der Struktur schließen können. Der Standardweg im linearen Fall (z.B. beim Laplace-Problem) ist es, für die schwachen Lösungen mit einem Münchhausen-Prinzip (Elliptic Bootstrapping) Stück für Stück mehr Regularität zu zeigen. Man kann so zeigen, dass die Lösung immer so gut ist, wie die es Daten erlauben. Man nennt das maximale Regularität. Leider ist für die INS das Wachstum in der Nichtlinearität zu schnell, um im 3d-Fall mit diesen Standardmethoden zu argumentieren (im 2d Fall geht es aber). Im 3d-Fall geht es aber unter bestimmten Zusatzbedingungen, z.B. einer höheren Integrierbarkeit des Geschwindigkeitsfeldes als die schwachen Lösungen von vornherein haben. Man fand dies über Skalierungs-Eigenschaften der Gleichung heraus. Grob gesagt, muss man fordern dass die Lösung zu einem Raum gehört, der Skalierungsinvariant ist. Eine weitere zusätzliche Forderung ist die Gültigkeit der Energiegleichung (Erhaltung der kinetischen Energie), denn leider weiß man bisher von schwachen Lösungen nur, dass sie eine Energieungleichung erfüllen. Eine zweite Schwierigkeit der INS ist der Zusammenhang zwischen Druck und Divergenzgleichung. Ein Trick der schwachen Theorie ist, dass wir uns von Anfang an auf Funktionen beschränken, die schwach divergenzfrei sind (also die Gleichung in Integralmittel erfüllen. Was in der Theorie sehr gut funktioniert, ist blöd für die Numerik, weil man Divergenzfreiheit immer wieder herstellen muss wegen der Rechenfehler im Prozess. Unter den Forschern gibt es zwei Richtungen: Entweder man sucht nach Blow-up Lösungen, also schwachen Lösungen, die keine punktweisen Lösungen sein können, oder man versucht die Zusatzforderungen aufzuweichen (um sie am Ende ganz weglassen zu können). Dabei gibt es ständig kleine Fortschritte. Es gibt auch zwei Wege, für allgemeinere Modelle Theorien zu entwickeln, die dann im Spezialfall auch etwas über INS sagen. Ein durch O.A. Ladyzenskaya vorgeschlagener Zugang geht über den p-Laplace-Operator. Hier findet man starke Lösungen für alle p>2,5, die INS ist jedoch der Fall p=2. Als Materialgesetz interessant für Ingenieure ist aber der noch schwierigere Fall 1<p<2. Der zweite Weg sind kompressible Modelle zu nutzen, um Inkompressibilität durch eine Folge immer weniger kompressibler Modelle zu approximieren. Das ist aber sehr schwierig, denn die Skalierungszusammenhänge sind nicht klar und die kompressiblen Modelle sind in der Gültigkeit schwer zu verifizieren. Z.B. lassen sie in der Regel eine Dichte von Null zu, was physikalisch nicht sinnvoll ist. Mark Steinhauer entdeckte die INS in seiner Studienzeit durch eine Vorlesung von Jens Frehse in Bonn. Es gab eine sehr enge Zusammenarbeit mit Schülern von Jindřich Nečas (von der Karlsuni in Prag) z.B. mit Michael Růžička und Josef Málek (und inzwischen deren Schüler). Er promovierte in Bonn und arbeitet heute als Dozent für Mathematik vor allem mit zukünftigen Lehrpersonen an der Uni in Koblenz. Literatur und weiterführende Informationen
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| Filters | 03 Nov 2016 | 00:28:03 | |
Liliana de Luca Xavier Augusto is PhD student of chemical engineering at the Federal University of São Carlos in Brasil. She spent one year of her PhD (October 2015-2016) at the KIT in Karlsruhe to work with the group developing the software OpenLB at the Mathematical Department and the Department of Chemical Engineering. Liliana Augusto investigates filtering devices which work on a micro () and nano () level, and computes the pressure drop between in- and outlet of the filter as well as the collection efficiency. There is a research group conducting experimental setups for these problems, but her research group focuses specifically on mathematical modeling and computer simulation. Due to the small scale and nature of the experiments, one cannot easily take pictures from the physical filters by electronic microsopy, but it is indeed feasible to deduce some important characteristics and geometry such as the size of the fibres for proper modelling and simulation. Appropriate models for the small scale are mesoscopic like Lattice Boltzmann Model where microscopic models are very expensive- too expensive. She is busy with special boundary conditions necessary no-slip boundary condition on the macro scale has to be translated. There is a certain slip to be taken into account to align the results with experimental findings. Lattice Boltzman methods are not very prominent in Brasil. She was looking for suitable partners and found the development group around OpenLB who had co-operations with Brazil. She tried to apply the software on the problem, and she found out about the possibility to work in Germany through a program of the Brasilian government. It is not so common to go abroad as a PhD-student in Brazil. She learnt a lot not only in an academical manner but highly recommends going abroad to experience new cultures as well. She does not speak German- everything, from looking for partners to arriving in Germany, happened so fast that she could not learn the language beforehand. At the university, English was more than sufficient for scientific work, but she had difficulties finding a place to stay. In the end, she found a room in a student dorm with German students and a few other international students. References
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| Verkehrsflusssimulation | 02 Oct 2020 | 00:39:00 | |
Im Rahmen der Vorlesung Mathematical Modelling and Simulation haben Jan Dietrich und Alexander Grötz ein Projekt bearbeitet, wo sie Verkehr mit Hilfe der Software VISSIM simulieren. Die Idee kam ihnen durch ein Praktikum Firma ptvgroup an der Verkehrsmodellierung, das Jan Dietrich kürzlich dort absovliert hat. Im Gespräch geht es um verschiedene Formen der Modellierung von Verkehrsflüssen und um konkrete Umsetzung des Modells in VISSIM. Der ersten Teil des Podcasts ist dabei der theorietischen Ausgestaltung von Verkehrsmodellen gewidmet. Im Wesentlichen unterschiedet man zwischen zwei Gruppen von Verkehrsmodellen. Während die so genannten Verkehrsflussmodelle, die die zeitliche Veränderung des Verkehrsaufkommens untersuchen, werden Verkehrsnachfragemodelle dazu verwendet, um Aussagen über das Verkehrsaufkommen in einem Jahr oder die Aufteilung dieser Nachfrage auf die verschiedenen Transportmittel zu treffen. Weiter werden diese beiden Gruppen nochmals in drei Kategorien uterteilt; genauer in
Eine letzte Unterscheidungsmöglichkeit zwischen einzelnen (Verkehrs-)Modellen ist der Zufall: Wenn jede Modellvariable in dem Sinn "vorhersehbar", dass die quantitative Ausprägung der einzelnen Variablen für alle betrachteten Zeiten exakt berechenbar sind und über deren Ausprägung keine Unsicherheit herrscht, sprich man von deterministischen Modellen. Oft ist es jedoch so, dass man bestimmte Ereignisse oder auch Handlungen der einzelnen Verkehrsteilnehmer nicht exakt vorhersehen kann. Dadurch erhält man aber gewisse Unsicherheiten bei der Berechnung zukünftiger Zustände, weil man die genaue Ausprägung der zufälligen Größen erst ex post kennt. Man wird im Allgemeinen also nie den exakten Zustand eines Modells mit solchen zufälligen Einflussgrößen bestimmen können. Solche Modelle, die Zufallsvariablen beinhalten, nennt man stochastisch. Im zweiten Teil des Podcasts, geht es um die praktische Umsetzung von Verkehrsmodellen mit Hilfe der Software PTV VISSIM. In VISSIM werden zahlreiche Aspekte des Straßenverkehrs sehr realitätsnah und graphisch ansprechend abgebildet. Neben der reinen Simulation der Bewegung von Fahrzeugen wird dabei auch auf viele Details, die das Verhalten der Fahrzeuge in der Realität beeinßussen, Rücksicht genommen. Unter anderem werden verschiedene Fahrzeugklassen und deren unterschiedliches Verhalten beim Bremsvorgang berücksichtigt, aber auch Dinge wie Vorfahrtsregelungen und Spurwechsel können modelliert werden. Mit der Erweiterung PTV Viswalk kann sogar auf das Verhalten einzelner Fußgänger Rücksicht genommen werden. Die Modellierung der Bewegung der einzelnen Verkehrsteilnehmer in PTV Vissim basiert dabei grundlegend auf dem Fahrzeugfolgemodell von Rainer Wiedemann, einem s.g. mikroskopischen, stochastischen Verkehrsfolgemodell, in welches auch psychologische Aspekte der Verkehrsmodellierung mit einfließen. Um auch den Zuhörern des Podcasts, einen ersten Eindruck von VISSIM vermitteln zu können, hat Jan sich bereit erklärt, die grundlgenden Funktionen von VISSIM in einem kurzen Einführungsvideo vorzustellen. Weitere Modellierungsmöglichkeiten mit VISSIM findet man z.B in der zum Podcas gehörenden Ausarbeitung, die neben der Einführung in VISSIM auch einen Überblick über das Verkhsmodellierung im Allgemeinen gibt. Wie man im Einführungsvideo gut sehen kann, muss man für eine möglichst realitätsnahe Modellierung des Straßenverkehrs einige Parameter einstellen. Sinnvolle Kenngrößen für in die Simulation eingehenden Daten (wie z.B. das Verkehrsaufkommen in den einzelnen Fahrbahnen, Beschleunigung und Bremsstärke für einzelne Fahrzeugklassen, die Schaltung der Ampeln, etc.) müssen vor der Eingabe in Vissim zuerst aber noch ermittelt werden. Oft, wie beispielsweise beim erwarteten Verkehrsaufkommen, erfordert dies wiederum eigene Modelle. Einen guten Überblick über das Thema Verkehrsplanung, insbesondere im Zusammenhang mit dem Thema der Verkehrsnachfrage, bietet beispielsweise das Paper von Firedrich. Literatur und weiterführende Informationen
Podcasts
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| Was ist Mathematik? | 27 Oct 2016 | 00:50:08 | |
Günter M. Ziegler hat unsere Fakultät besucht, um im Didaktik-Kolloquium einen Vortrag mit dem Titel Was ist Mathematik? zu halten. Diese Gelegenheit ergriff Gudrun Thäter, um ihn auf ein kurzes Gespräch zu diesem weitreichenden Thema einzuladen. Günter M. Ziegler studierte Mathematik und Physik an der LMU München. Er promovierte 1987 am MIT in Cambridge und war anschließend in Augsburg und Djursholm (Schweden) wissenschaftlich tätig. 1992 habilitierte er an der TU Berlin und arbeitete anschließend sowohl am Konrad-Zuse-Zentrum als auch an der TU in Berlin (seit 1995 als Professor). 2011 folgte er einem Ruf auf eine Professur für Mathematik an die FU Berlin. Im Jahr 2001 erhielt er den höchstdotierten deutschen Wissenschaftspreis, den Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis der DFG. Professor Ziegler ist natürlich als jemand, der selbst in der Mathematik forscht, berufen, fundiert über sein Bild der Mathematik zu reden. Darüber hinaus hat er aber auch maßgeblich als Präsident des Berufsverbandes der Mathematiker, der DMV (von 2006 bis 2008) mit darauf hingearbeitet, das Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit zu korrigieren und die Allgegenwart mathematischer Techniken und Ergebnisse im Alltag aller Menschen mit dem Wissenschaftsjahr der Mathematik 2008 ins Bewusstsein zu heben. Seither schreibt er auch regelmäßig die Kolumne Mathematik im Alltag in den Mitteilungen der DMV. Er ist Autor verschiedener Bücher zum Themenkreis und wurde für seine vielfältige Tätigkeit 2008 mit dem Communicator Preis ausgezeichnet. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress ICM 2014 in Seoul präsentierte er einen eingeladenen Vortrag What is Mathematics? Das Gespräch berührt unter anderem die Themen:
Schüler lernen im Lauf der Schulkarriere in der Regel nicht alle diese Facetten kennen. Nach dem Namen der verwendeten Schulbücher könnte man zum Beispiel denken, Geometrie und Algebra bildeten zusammen die Mathematik. Außerdem hat sich im Lauf der Zeit die Mathematik verändert. Das wird z.B. sichtbar in der Rolle der Computer früher und heute. Im Vergleich dazu gibt zu wenig Wechsel im schulischen Lernstoff. Was über die Zeit bleibt, sind natürlich die Fertigkeiten sauber zu argumentieren, präzise zu formulieren und logisch zu denken. Das muss man unter anderem auch als Ingenieur, Mediziner und Jurist können. Darüber hinaus ist es eine Grundfertigkeit im Alltag, Statistiken zu lesen und zu verstehen. Ein gutes Beispiel, um auch schon in der Schule aufzuzeigen, wo und wie überall Mathematik benutzt wird, wäre z.B. zu vermitteln wie die Wettervorhersage entsteht: Wie wird es gerechnet, mit welchen Unsicherheiten ist das Ergebnis behaftet usw.. Die Numerik ist im Detail zu schwierig, aber die Prinzipien lassen sich durchaus aufzeigen. Man kann auch damit beginnen, dazu Geschichten zu erzählen, die zunächst Grundprinzipien klar machen und anschließend bestimmte Aspekte auch genau und in der Tiefe verständlich machen. Deshalb wurde eine "Erzählvorlesung" Panorama der Mathematik in Berlin entwickelt, die das insbesondere für Lehramtskandidaten und -kandidatinnen sichtbar machen soll und Mathematik in einen weiten Kontext setzt. Es wird die Entwicklung von Mathematik als von Fragen getriebener Prozess dargestellt und ihre Ergebnisse nicht als alternativlos. Denn nicht einmal die Darstellung der Zahlen im Dezimalsystem ist die einzige Möglichkeit, die sich hätte durchsetzen können. Literatur und weiterführende Informationen
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| Operations Research | 20 Oct 2016 | 02:31:18 | |
Marco Lübbecke hat als Mathematiker den Lehrstuhl für Operations Research an der RWTH Aachen inne. Sein Lehrstuhl ist sowohl der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften als auch der Fachgruppe für Mathematik zugeordnet. Zum Gespräch mit Sebastian Ritterbusch in Karlsruhe kam es anlässlich des Treffens der DFG Forschergruppe 2083: Integrierte Planung im öffentlichen Verkehr auf Einladung von Peter Vortisch, der auch schon zur Verkehrsmodellierung in Folge 93 in diesem Podcast zu hören war. Auf Twitter sind Marco Lübbecke unter @mluebbecke und sein Lehrstuhl unter @RWTH_OR zu finden und er schreibt das Blog Café Opt. Operations Research befasst sich zusammenfassend mit mathematischen Modellen und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Dabei steht oft die Frage einer möglichst guten oder optimierten Entscheidung im Vordergrund und daher ist das Gebiet von mathematischer Seite im Bereich der mathematischen Optimierung angesiedelt. Die Optimierung behandelt grundsätzlich die Bestimmung eines optimalen Werts einer Zielfunktion (und einer dazugehörenden Lösung) unter Berücksichtigung von einschränkenden Nebenbedingungen, den Restriktionen. Daneben steht aber auch die Frage der geeigneten Abbildung und Modellierung der Wirklichkeit und den Fehlerquellen der Beschreibung wie auch die grundsätzliche Herangehensweise an das Problem. Das optimierte Zusammenspiel von Menschen, Algorithmen und Technologie wird seit 2011 auch oft mit dem Begriff Industrie 4.0 für eine erhoffte vierte industrielle Revolution beschrieben. Die einheitliche Definition des Begriffs lassen aber selbst renommierte Industrievertreter offen. Als eine Schnittmenge der Beschreibungen kann man die lokale Intelligenz von Fertigungskomponenten ausmachen, die über Vernetzung und Sensorik zu einem besseren Gesamtprozess führen kann. Im Kleinen werden so Entscheidungsprozesse durchgeführt und dies führt grundlegend auf die gerade eingeführte mathematische Optimierungstheorie mit allen ihren Facetten. So gesehen ist die Industrie 4.0 als Optimierungsproblem eigentlich ohne Mathematik undenkbar. Ein in der Universität sehr naheliegendes Feld der Optimierung ist die Vorlesungsplanung, und hier ist aus der Forschung zusammen mit Gerald Lach in Kooperation zwischen der TU Berlin und der RWTH Aachen die Lösung Mathplan entstanden, die inzwischen an vielen Universitäten erfolgreich zur Vorlesungs-, Tutorien- und Klausurplanung eingesetzt wird. Mit genügend Zeit und genügend Personal kann man zwar einen einigermaßen akzeptablen Plan mit viel Erfahrung auch ohne besondere mathematische Optimierung aufstellen, das ändert sich aber schlagartig, wenn kurzfristige Änderungen berücksichtigt und Konflikte aufgelöst werden müssen. Mathematisch geht es hier um ganzzahlige lineare Programme, für die zwar Lösungsverfahren bekannt waren, diese für die Größenordnung der Probleme nicht geeignet waren. Eine Modellreduktion ohne Verlust der Optimalität führte hier zur Lösung. Auch in der Erstellung von Zugfahrplänen besteht ein großes Optimierungspotential. Da die Realität nicht perfekt planbar ist, geht es hier besonders um eine robuste Planung, die auch bei entstehenden Störungen noch das anvisierte Ziel erreichen kann. In der Forschung unter anderem auch mit Anita Schöbel der Uni Göttingen geht es um die Analyse der Fortpflanzungen von Verzögerungen, damit besonders kritische Fälle besonders behandelt werden können. Ein weiterer Gesichtspunkt ist aber auch die Möglichkeit Probleme möglichst gut durch kleine Eingriffe wieder korrigieren zu können. Ein zunächst überraschendes Forschungsthema ist die Bundestagswahl, wo sich Sebastian Goderbauer mit der optimierten Wahlkreiseinteilung befasst. Die 299 Bundestagswahlkreise werden weitaus häufiger neu zugeschnitten als man denkt: Da nach Bundestagswahlgesetz jeder Wahlkreis gerade 1/299-tel der Wahlberechtigten mit einer Toleranz von maximal 25 Prozent vertreten muss, erfordert die Wählerwanderung und Veränderung der Bevölkerungsstruktur die regelmäßigen Veränderungen. Das sogenannte Gerrymandering ist besonders bei Wahlen mit Mehrheitswahlrecht ein sehr problematisches Vorgehen bei Wahlkreisveränderungen, das offensichtlich undemokratische Auswirkungen hat. In Deutschland ist dies weniger ein Problem, wohl aber die deutlich ungleiche Größenverteilung der Wahlkreise. Die mathematische Definition und Betrachtung als Optimierungsproblem trägt die Hoffnung in sich, dass das Zuschnitt-Verfahren transparenter und nachvollziehbarer als bisher abläuft, und das sich dadurch balanciertere Wahlkreisgrößen ergeben können. Ein zentrales Forschungsgebiet ist für Marco Lübbecke der Bereich der ganzzahligen Programme. Die vielen auftretenden Variablen können beispielsweise Entscheidungen repräsentieren, die diskrete Werte wie ja oder nein repräsentieren. Dazu kommen verschiedene Resktriktionen und Nebenbedingungen, die Einschränkungen aus der Umgebungssituationen wie beispielsweise begrenzte Resourcen darstellen. Der Begriff "Programm" für die Bezeichnung von Optimierungsproblemen ist historisch aus dem englischen Begriff "programming" entstanden, der früher intensiv für "Planung" verwendet wurde. Heutzutage ist dieser Zusammenhang nicht mehr so naheliegend und entsprechend hat sich die Mathematical Programming Society (MPS) in Mathematical Optimization Society (MOS) umbenannt. Sind die Variablen eines Optimierungsproblems im , so kann man sich Schnitte mit linearen Ungleichungen wie das halbseitige Abschneiden des Lösungsraumes mit Ebenen vorstellen. Man nennt das Resultat ein Polyeder oder Vielflächner. Ist nun zusätzlich auch die Zielfunktion linear, so spricht man von einem linearen Optimierungsproblem oder linearen Programm. Wird nun der Lösungsbereich mit einem Gitter geschnitten, d.h. die Variablen können nur diskrete wie z.B. nur ganzzahlige Werte annehmen, so wird das Optimierungsproblem deutlich schwieriger. Dies ist erstaunlich, da der Lösungsbereich deutlich eingeschränkt wird. Jedoch verliert der Lösungsbereich seine konvexe Struktur und führt im linearen Fall von einem in polynomialer Zeit lösbaren Problem zu einem NP-schweren Problem. Wenn die Lösungsmenge eine beschränkte Anzahl von Elementen besitzt, so ist die Existenz von Maximum und Minimum durch Ausprobieren leicht zu beweisen. Das Problem ist jedoch, dass bei großen Datenmengen das vollständige Durchsuchen viel zu lange dauern würde. Eine Strategie zur Reduktion des Problems ist hier die Aggregation oder das Clustering, wo verschiedene Aspekte durch einzelne Repräsentanten dargestellt und gruppiert werden und so Rechenzeit eingespart wird. Zwar werden so nur approximierte Probleme gelöst, jedoch deutlich schneller und wenn möglich mit Fehlerschranken, die den maximalen Abstand zur tatsächlichen Lösung spezifizieren. Ein Beispiel für dieses Prinzip sind die Contraction Hierarchies, die das Routingproblem bzw. einen kürzesten Pfad auf einem Graphen zu finden durch eine zuvor berechnete Reduktion des betrachteten Netzes beschleunigen, exakte Fehlerschranken liefern, und gleichzeitig die Berechnung einer optimalen Lösung durch Berechnung lokaler Routen ermöglicht. Das Verfahren kommt aber an Grenzen, wenn einige Aspekte nur mit Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden können. Ein klassisches Optimierungsproblem ist das Problem des Handlungsreisenden, an dem sich die verschiedenen Verfahren und Analysen der diskreten Optimierung illustrieren lassen. Dabei hat das Problem die Forschungsrelevanz nicht verloren: Viele neue Verfahren und Forschungsansätze gehen auf das Problem des Handlungsreisenden zurück. Gleichzeitig steht das Problem stellvertretend für viele Optimierungsprobleme zu Reihenfolgen in der Anwendung und findet so immer neuen Einsatz. Grundsätzlich basieren Optimierungsprobleme auf der Suche nach Extremwerten, diese kann man beispielsweise mit Abstiegs- oder Aufstiegsverfahren versuchen zu finden. Will man nun Einschränkungen berücksichtigen, so kann man die Zielfunktion mit Lagrange-Multiplikatoren für die Restriktionen erweitern. Diese Multiplikatoren kann man als Strafterme verstehen, die das Finden des Optimums unter Einhaltung der Restriktionen erzwingen. Die Verwendung der Lagrange-Multiplikatoren erzeugt automatisch über die Lagrange-Dualität ein duales Problem und führt auch auf Sattelpunkte. Die neue Sichtweise ist aus mehreren Gründen sehr hilfreich: Zum einen vereinfacht diese Dualität mathematische Beweise, sie ermöglicht Abschätzungen für die Qualität von Lösungen und liefert gleich zwei alternative Verfahren, um ein Optimierungsproblem zu lösen. Ein Standardverfahren zum Lösen von linearen Optimierungsproblemen ist das Simplex-Verfahren. Hier wird ausgenutzt, dass lineare Restriktionen ein Polyeder bilden und eine lineare Optimierungsfunktion ihr Maximum auf einer (Hyper-)Fläche, einer Kante (bzw. entsprechenden höherdimensionalen Strukturen) oder einer Ecke annehmen muss. Diese Kanten und Ecken werden mit dem Verfahren systematisch durchsucht. Beim schriftlichen Rechnen hat das Simplex-Verfahren große Ähnlichkeit mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, das zum Lösen von linearen Gleichungssystemen eingesetzt wird. In der Praxis ist das Simplex-Verfahren sehr schnell, jedoch finden sich konstruierte Gegenbeispiele, auf denen das Simplex-Verfahren eine schrecklich langsame exponentielle Laufzeit an den Tag legt. Daher haben hier traditionelle innere Punkte-Verfahren und Barrier-Verfahren ein aufwandstheoretisch deutlich besseres Laufzeitverhalten, in der Praxis sind die Ergebnisse aber sehr gemischt. Hat man nun ein diskretes bzw. ganzzahliges Problem, so liefert das Simplex-Verfahren ohne Berücksichtigung der Diskretisierung typischerweise keine ganzzahlige Lösung, liefert aber Abschätzungen für das Optimum, da der Wert einer optimalen ganzzahligen Lösung nicht besser sein kann als der einer optimalen kontinuierlichen Lösung. Für die nicht-ganzzahligen Lösungen für einzelne Variablen wie kann man nun zwei ganzzahlige Restriktionen definieren wie oder , und jetzt zwei Teilprobleme bzw. "Branches" mit je einer der beiden Restriktionen zusätzlich lösen. So erhält man entweder ein unzulässiges Teilproblem, oder bereits ein ganzzahlige Lösung (nicht notwendigerweise eine beste) oder eben wieder eine nicht-ganzzahlige. Durch fortwährendes Verzeigen auf den nicht-ganzzahligen Variablen entsteht eine Baumstruktur der Teilprobleme. Mit Hilfe der aus den jeweiligen kontinuierlichen Relaxationen gewonnenen Schranken lassen sich ganze Äste des Baums abschneiden ("Bound"), in denen keine bessere Lösung mehr zu finden ist als die beste die man bisher gefunden hat. Dieses Verfahren führen wir für alle weiteren verbleibenden Probleme oder Branches durch bis eine optimale lineare und diskrete Lösung übrig bleibt. Damit liefert das Branch-and-Bound-Verfahren bzw. weiter verfeinert das Branch-and-Cut-Verfahren auf Basis der Lösung von vielen kontinuierlichen linearen Optimierungsproblemen die Lösung des diskreten Problems. Eine Erweiterung des Verfahrens auf besonders große Probleme ist das Branch-and-Price-Verfahren, das mit Basis von Column Generation die Variablen sucht, die für die Lösung des Gesamtproblems relevant sind, und das Problem eingeschränkt auf diese Variablen löst, ohne dabei Optimalität aufzugeben. Ein interessantes Beispiel ist hier das Bin Packing bzw. Behälterproblem, wo es darum geht, eine Anzahl von verschiedenen Objekten auf eine Anzahl von Behältern zu verteilen. Das Entscheidungsproblem, ob eine gegebene Anzahl von Behältern reicht, ist sowohl für Versandhäuser äußerst relevant, ist aber gleichzeitig auch NP-Vollständig, also aufwandstheoretisch nachgewiesen schwer. Hier kann man durch vorheriges Sammeln von möglichen Füllmustern ein riesengroßes Modell erstellen, dieses aber mit der column generation in der Praxis um so effizienter lösen. In der Industrie werden beispielsweise die Pakete Cplex, Gurobi oder Xpress zur Lösung von Optimierungsproblemen eingesetzt, die die besprochenen Verfahren umsetzen. Hier können auch Modellierungssprachen zum Einsatz kommen, die die Probleme abstrakt und menschenlesbar definieren. Vorteile sind hier die Trennung von Daten und Modell und auch die Trennung von Problem und Löser. Ein Beispiel für eine Modellierungssprache für Optimierungsproblemen ist GAMS, sie stehen aber heutzutage in starker Konkurrenz zu modernen Programmiersprachen wie Python. Im Sinne des Leitsatzes "Tue Gutes und rede darüber" ist die Kommunikation von Wissenschaft für Forschende in Öffentlichkeit, Social Media und Internet eine große Gelegenheit mit vielen Vorteilen: Neben dem Austausch von wichtigen Erfahrungen zum Beispiel zum Schreiben wissenschaftlicher Paper, hilft es der wissenschaftlichen Vernetzung, der gesellschaftlichen Diskussion zur Relevanz des Forschungsgebiet über den Tellerand hinaus, und interessiert auch die Öffentlichkeit und auch junge Menschen näher in die spannenden Themen einzusteigen. Literatur und weiterführende Informationen
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| Crime Prevention | 13 Oct 2016 | 00:40:34 | |
This is the last of four conversation Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th April 2016 in Oxford. Andrea Bertozzi from the University of California in Los Angeles (UCLA) held a public lecture on The Mathematics of Crime. She has been Professor of Mathematics at UCLA since 2003 and Betsy Wood Knapp Chair for Innovation and Creativity (since 2012). From 1995-2004 she worked mostly at Duke University first as Associate Professor of Mathematics and then as Professor of Mathematics and Physics. As an undergraduate at Princeton University she studied physics and astronomy alongside her major in mathematics and went through a Princeton PhD-program. For her thesis she worked in applied analysis and studied fluid flow. As postdoc she worked with Peter Constantin at the University of Chicago (1991-1995) on global regularity for vortex patches. But even more importantly, this was the moment when she found research problems that needed knowledge about PDEs and flow but in addition both numerical analysis and scientific computing. She found out that she really likes to collaborate with very different specialists. Today hardwork can largely be carried out on a desktop but occasionally clusters or supercomputers are necessary. The initial request to work on Mathematics in crime came from a colleague, the social scientist Jeffrey Brantingham. He works in Anthropology at UCLA and had well established contacts with the police in LA. He was looking for mathematical input on some of his problems and raised that issue with Andrea Bertozzi. Her postdoc George Mohler came up with the idea to adapt an earthquake model after a discussion with Frederic Paik Schoenberg, a world expert in that field working at UCLA. The idea is to model crimes of opportunity as being triggered by crimes that already happend. So the likelihood of new crimes can be predicted as an excitation in space and time like the shock of an earthquake. Of course, here statistical models are necessary which say how the excitement is distributed and decays in space and time. Mathematically this is a self-exciting point process. The traditional Poisson process model has a single parameter and thus, no memory - i.e. no connections to other events can be modelled. The Hawkes process builds on the Poisson process as background noise but adds new events which then are triggering events according to an excitation rate and the exponential decay of excitation over time. This is a memory effect based on actual events (not only on a likelihood) and a three parameter model. It is not too difficult to process field data, fit data to that model and make an extrapolation in time. Meanwhile the results of that idea work really well in the field. Results of field trials both in the UK and US have just been published and there is a commercial product available providing services to the police. In addition to coming up with useful ideas and having an interdisciplinary group of people committed to make them work it was necessery to find funding in order to support students to work on that topic. The first grant came from the National Science Foundation and from this time on the group included George Tita (UC Irvine) a criminology expert in LA-Gangs and Lincoln Chayes as another mathematician in the team. The practical implementation of this crime prevention method for the police is as follows: Before the policemen go out on a shift they ususally meet to divide their teams over the area they are serving. The teams take the crime prediction for that shift which is calculated by the computer model on the basis of whatever data is available up to shift. According to expected spots of crimes they especially assign teams to monitor those areas more closely. After introducing this method in the police work in Santa Cruz (California) police observed a significant reduction of 27% in crime. Of course this is a wonderful success story. Another success story involves the career development of the students and postdocs who now have permanent positions. Since this was the first group in the US to bring mathematics to police work this opened a lot of doors for young people involved. Another interesting topic in the context of Mathematics and crime are gang crime data. As for the the crime prediction model the attack of one gang on a rival gang usually triggers another event soon afterwards. A well chosen group of undergraduates already is mathematically educated enough to study the temporary distribution of gang related crime in LA with 30 street gangs and a complex net of enemies. We are speaking about hundreds of crimes in one year related to the activity of gangs. The mathematical tool which proved to be useful was a maximum liklihood penalization model again for the Hawkes process applied on the expected retaliatory behaviour. A more complex problem, which was treated in a PhD-thesis, is to single out gangs which would be probably responsable for certain crimes. This means to solve the inverse problem: We know the time and the crime and want to find out who did it. The result was published in Inverse Problems 2011. The tool was a variational model with an energy which is related to the data. The missing information is guessed and then put into the energy . In finding the best guess related to the chosen energy model a probable candidate for the crime is found. For a small number of unsolved crimes one can just go through all possible combinations. For hundreds or even several hundreds of unsolved crimes - all combinations cannot be handled. We make it easier by increasing the number of choices and formulate a continuous instead of the discrete problem, for which the optimization works with a standard gradient descent algorithm. A third topic and a third tool is Compressed sensing. It looks at sparsitiy in data like the probability distribution for crime in different parts of the city. Usually the crime rate is high in certain areas of a city and very low in others. For these sharp changes one needs different methods since we have to allow for jumps. Here the total variation enters the model as the -norm of the gradient. It promotes sparsity of edges in the solution. Before coming up with this concept it was necessary to cross-validate quite a number of times, which is computational very expensive. So instead of in hours the result is obtained in a couple minutes now. When Andrea Bertozzi was a young child she spent a lot of Sundays in the Science museum in Boston and wanted to become a scientist when grown up. The only problem was, that she could not decide which science would be the best choice since she liked everything in the museum. Today she says having chosen applied mathematics indeed she can do all science since mathematics works as a connector between sciences and opens a lot of doors. References
Examples for work of undergraduates
Publications of A. Bertozzi and co-workers on Crime prevention
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