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Collège de France

Thierry Coquand

Informatique et sciences numériques (2024-2025)

Année 2024-2025

02 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Déduction naturelle et modèles

Plan du cours :

Curry-Howard ;

déduction naturelle de Gentzen ;

définitions inductives suivant Martin-Löf ;

présentation algébrique de la théorie des types et modèle des termes comme modèle initial ;

quelques exemples de modèles, en particulier modèle ensembliste et modèles de préfaisceaux.

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01 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : La théorie des types, de Russell à de Bruijn

Plan du cours :

théorie des types de Russell ;

notation du λ-calcul de Church pour les fonctions ;

théorie des types simples et système HOL ;

introduction aux types dépendants, système AUTOMATH ;

traitement uniforme des objets et des preuves mathématiques ;

vérification des preuves comme vérification des types.

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Leçon inaugurale - Thierry Coquand : La théorie des types, de Russell aux assistants à la démonstration

Résumé

La théorie des types a été introduite par Bertrand Russell pour éviter les paradoxes qui apparaissent en mathématique si l'on utilise de manière trop naïve la notion de collection d'objets. Cette notion de types a été raffinée par la notion de type dépendant, dans le but de représenter les preuves mathématiques sur ordinateur, et de pouvoir ainsi vérifier la correction de ces preuves. Cette idée d'utiliser ainsi l'ordinateur connaît depuis quelques années un grand développement (vérification de la preuve du théorème de l'ordre impair ou, plus récemment, d'un résultat non trivial de Peter Scholze). Indépendamment de ce rôle important pour la formalisation des preuves mathématiques, la notion de type dépendant présente un intérêt conceptuel intrinsèque en logique et informatique, à travers la correspondance de Curry-Howard entre types et propositions. Certains résultats plus récents indiquent que ce formalisme permet de formuler des propriétés nouvelles sur une des notions de base de la mathématique : la notion d'égalité, avec un rapprochement inattendu entre des questions de base de la logique et de la théorie abstraite de l'homotopie.

Cette leçon retracera l'histoire récente de ces découvertes, aussi bien autour de la vérification des preuves sur ordinateur que de la synergie qui est en train de s'établir entre la théorie des types dépendants et la théorie de l'homotopie.

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04 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Théorie des types et théorie des ensembles

Plan du cours :

traduction d'Aczel de la théorie des ensembles en théorie des types ;

variation de Miquel pour les ensembles non nécessairement bien fondés ;

application au problème de la force logique de certains systèmes de types et en particulier du système Lean (Mario Carneiro).

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03 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Univers, paradoxes et normalisation

Plan du cours :

paradoxe de Girard avec un type de tous les types ;

différence avec le paradoxe de Russell ;

univers comme principe de réflexion ;

preuve algébrique de canonicité avec la technique du collage à la Artin et preuve de normalisation ;

application à la vérification des preuves.

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05 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Le mystère de l'égalité ; la notion de type comme généralisation de la notion d'ensemble

Plan du cours :

comment représenter la notion d'égalité en théorie des types ;

stratification de Voevodsky des types ;

une définition uniforme de la notion d'équivalence ;

principe d'univalence ;

application à la notion d'égalité des structures mathématiques et comparaison avec la théorie des ensembles.

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Colloque - Formalisation des mathématiques et types dépendants - Denis-Charles Cisinski : La logique des catégories supérieures

Denis-Charles Cisinski

Professeur, Universität Regensburg

Résumé

La logique des catégories supérieures (ou encore des ∞-catégories) est une variation de la théorie des types qui est homotopique par nature et dans laquelle la notion de catégorie est le concept primitif – celui que l'on ne définit jamais ! Une généralisation adéquate de l'axiome d'univalence de Voevodsky fait de cette théorie un langage très expressif, et ce, assez pour qu'il puisse produire ses propres interprétations sémantiques. Cela fournit un système de fondation des mathématiques au cœur duquel les concepts de la théorie des catégories ainsi que de la théorie de l'homotopie sont implémentés. Une logique des logiques. Une interprétation sémantique de cette logique est produite en mathématiques classiques par la théorie des ∞-catégories telle que développée par Joyal et Lurie. Une formulation en théorie des types dépendants, via la théorie de Riehl-Shulman, est l'objet d'un projet en cours de Buchholtz et Weinberger. Cette logique permet de formuler constructivement bien des théories considérées comme avancées (e.g. cohomologie étale des schémas dérivés ou non, catégories dérivées des faisceaux quasi cohérents) d'une manière proche de la pratique. C'est aussi une nouvelle manière d'appréhender la logique elle-même, de sorte que la distance entre syntaxe et sémantique est en apparence très significativement réduite : les logiques sont les termes d'un type, i.e. les objets d'une ∞-catégorie.

Denis-Charles Cisinski

Denis-Charles Cisinski est professeur de mathématiques à l'Universität Regensburg, en Allemagne. Il a occupé des postes permanents à l'université de Toulouse et à l'université Sorbonne-Paris-Nord, et est un ancien membre de l'Institut universitaire de France. Ses recherches portent sur l'algèbre homotopique, la théorie des catégories, la K-théorie et la cohomologie des schémas. Il est l'auteur de trois monographies : Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie (2007), Triangulated categories of mixed motives (2019), et Higher categories and homotopical algebra (2019).

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Colloque - Formalisation des mathématiques et types dépendants - Riccardo Brasca : Progrès récents dans la formalisation de la théorie des nombres

Riccardo Brasca

Maître de conférences, université Paris Cité

Résumé

Dans cet exposé, nous discuterons de l'état actuel de la formalisation de la théorie des nombres moderne dans mathlib, la bibliothèque mathématique de Lean. Nous mettrons en avant les avancées récentes, les principaux défis qui ont été relevés, ainsi que les implications plus larges de ce travail. Nous aborderons également les perspectives d'avenir et les applications potentielles, en soulignant comment ces développements contribuent à l'écosystème croissant des mathématiques formalisées.

Riccardo Brasca

Riccardo Brasca a obtenu son doctorat à l'université de Milan (Italie) en 2012, avec une thèse portant sur les formes modulaires p-adiques. Après son doctorat, il a effectué deux postdoctorats, l'un au Max-Planck-Institut für Mathematik à Bonn et l'autre à l'École normale supérieure de Lyon. Depuis 2013, il est maître de conférences à l'université Paris-Cité et depuis 2020 il travaille en formalisation des mathématiques.

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Colloque - Formalisation des mathématiques et types dépendants - Pierre-Marie Pédrot : Pour s'asseoir sur les fondations

Pierre-Marie Pédrot

Chargé de recherche, Inria

Résumé

La preuve assistée par ordinateur séduit un public de plus en plus large. Jusque-là surreprésentée dans le domaine de l'informatique où elle était née, elle a commencé à susciter chez les mathématiciens un engouement certain. Néanmoins, cet appel d'air ne s'est pas fait sans incompréhension, les deux communautés ne partageant pas les mêmes arrière-fonds culturels.

Cet exposé présente un point de vue informaticien assumé sur les fondements d'un assistant à la preuve et de la pertinence même de cette question. Notre thèse s'appuie sur l'équivalence preuve-programme, qui sera utilisée aussi bien comme paradigme théorique que comme approche sociologique. Notre vision est à la fois pluraliste et moniste. Moniste, car le choix d'une fondation a de nombreuses conséquences pratiques sur l'utilisation d'un assistant à la preuve, il faut donc concevoir le meilleur système. Pluraliste, car nous ne croyons pas en un langage unique des mathématiques : chaque sous-domaine s'exprime dans des langages extrêmement différents. Cette disparité est bien connue des informaticiens, qui utilisent de nombreux langages de programmation sur le même ordinateur. Cette tension est résolue via la compilation. Nous exposerons quelques techniques inspirées de ce domaine et évoquerons un avenir radieux où cohabitent pléthore de systèmes de preuve de haut niveau.

Pierre-Marie Pédrot

Pierre-Marie Pédrot est un chercheur en informatique spécialisé dans la théorie des types et est l'un des principaux développeurs de l'assistant à la preuve Rocq. Son travail s'articule autour du contenu calculatoire de la logique au travers de la correspondance preuve-programme. En s'inspirant de comportements venus du monde de la programmation appelés « effets de bord », il a notamment conçu des modèles de la théorie de types qui étendent sa puissance expressive. En complément de ce volet théorique, une partie importante de son activité consiste à implémenter et maintenir Rocq, avec une certaine emphase sur les questions de passage à l'échelle.

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Colloque - Formalisation des mathématiques et types dépendants - Assia Mahboubi : Preuves formelles mutatis mutandis

Assia Mahboubi

Directrice de recherche, Inria

Résumé

Comme c'est le cas dans la littérature, l'ajout d'un concept mathématique à un corpus de bibliothèques formelles donne typiquement lieu à plusieurs variantes de définitions, le plus souvent équivalentes mais pas toujours. Malheureusement, la transposition des preuves formelles de théorèmes associées à ces différentes variantes est alors très pédestre, alors que sur papier, ces étapes triviales resteraient implicites. Cette nécessaire bureaucratie est de fait un frein notoire à la formalisation de mathématiques « intéressantes ». Dans cet exposé nous discuterons la construction d'un outil de transfert de preuves en théorie des types. Base sur une généralisation de la traduction de paramétricité de Tabareau-Tanter-Sozeau, cette approche est utilisable dans des prouveurs comme Rocq ou Lean. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Cyril Cohen et Enzo Crance.

Assia Mahboubi

Assia Mahboubi est directrice de recherche à l'Inria, au sein du laboratoire des Sciences du Numérique de Nantes. Elle occupe aussi une chaire dans le département de mathématiques de la Vrije Universiteit Amsterdam, aux Pays-Bas.

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Colloque - Formalisation des mathématiques et types dépendants - Antoine Chambert-Loir : Sur la formalisation des puissances divisées

Antoine Chambert-Loir

Professeur, université Paris Cité

Résumé

Je ferai le point sur un travail de formalisation de la théorie des puissances divisées que je mène avec María-Inés de Frutos Fernández. Découvert par Cartan dans un contexte de topologie algébrique, cet outil algébrique a été développé dans les années 60 par Roby et est au cœur de la construction de la cohomologie cristalline. J'évoquerai en particulier la construction des puissances divisées sur l'idéal d'augmentation de l'algèbre à puissances divisées.

Antoine Chambert-Loir

Les travaux de recherche d'Antoine Chambert-Loir s'inscrivent le plus souvent en géométrie diophantienne (question de Manin sur les points de hauteur bornée) et en géométrie non archimédienne (construction d'une théorie de formes différentielles et courants réels). Depuis 2021, il s'intéresse à la formalisation mathématique, en concentrant son attention sur des résultats peu spectaculaires au premier abord, comme la théorie des actions de groupes ou celle des puissances divisées.

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08 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Modalités et modèles de la théorie des types

Plan du cours :

modalités exactes à gauche ;

application pour construire des nouveaux modèles de la théorie des types ;

non prouvabilité de la thèse de Church et du choix dénombrable ;

structure de modèle de Quillen et modèle constructif de la notion de types d'homotopie.

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07 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Espaces d'Eilenberg-MacLane et cohomologie

Plan du cours :

opération de débouclage des groupes ;

un exemple paradigmatique de définition de types qui ne sont pas des ensembles, les espaces d'Eilenberg-MacLane ;

utilisation de ces types pour définir les groupes de cohomologie.

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06 - Théorie des types dépendants et formalisation des mathématiques : Modèles de la théorie des types et du principe d'univalence

Plan du cours :

modèle de Voevodsky des ensembles simpliciaux et caractère non effectif de ces modèles ;

modèles effectifs avec ensembles cubiques ;

application à une définition de structure de modèle la Quillen sur certains modèles de préfaisceaux ;

définition constructive des types d'homotopie des espaces topologiques.