四十二街的数学 – Details, episodes & analysis

在小说《球状闪电》的开头，主角的爸爸在主角生日夜讲了这样一番话：

“其实，儿子，过一个美妙的人生并不难，听爸爸教你：你选一个公认的世界难题，最好是只用一张纸和一只铅笔的数学难题，比如歌德巴赫猜想或费马大定理什么的，或连纸笔都不要的纯自然哲学难题，比如宇宙的本源之类，投入全部身心钻研，只问耕耘不问收获，不知不觉的专注中，一辈子也就过去了。人们常说的寄托，也就是这么回事。或是相反，把挣钱作为惟一的目标，所有的时间都想着怎么挣，也不问挣来干什么用，到死的时候像葛朗台一样抱者一堆金币说：啊，真暖和啊……所以，美妙人生的关键在于你能迷上什么东西。比如我——”爸爸指指房间里到处摆放着的那些小幅水彩画，它们的技法都很传统，画得中规中矩，从中看不出什么灵气来。这些画映着窗外的电光，像一群闪动的屏幕，“我迷上了画画，虽然知道自己成不了梵高。”

本期为特别篇，串台野猫集会 Wildcats Gathering，聊一聊爱好与工作之间的关系。

本期成员：多萝西，安迪，乔治

时间轴

1:50 非100%纯粹热爱的数学PhD？不存在

6:38 一个PhD的诞生=十万小时的独处
8:30 有的人天生就是“干一行，恨一行”
12:04 热爱就像小火苗，需要小心筑起挡风墙
14:27 坚持一件事情不是要多热爱，而是需要high threshold for pain
17:40 “做这份工作，仅仅因为我能做”
26:20 “美妙人生的关键在于你迷上什么”
28:17 小众学科在慢慢变得像一个庞氏骗局
42:20 爱好就是你能对着朋友聊一下午的东西
43:50 播客就是滔滔不绝地讲自己感兴趣的事情，“眼神放光，向外辐射热情”
51:35 “爱哭是软弱的表现”，别再用雄性特质去界定成功

学数学和喜欢跳舞冲突吗？见我第一面时你会猜我是什么专业？

这期播客我们邀请到了本科在MIT，现在在哈佛读数学PhD的 Johnny，他的研究领域是代数组合。本期我们来聊聊竞赛与科研，以及数学里那些 stereotypes (刻板印象)。

时间轴

1:15 嘉宾介绍

1:47 MIT老教授考你一道题

10:08 跟着IMO全球旅行

11:34 查尔斯河的都市传说

13:55 韩舞C位出道的体验

18:01 竞赛vs科研，每天都在找开关

26:11 你学数学，所以两位数乘法一定算得很快

28:17 解谜游戏与古文字破译

30:24 你不去看看剩下99%的世界吗

31:31 假装初次见面，你会觉得我是个什么样的人？

本期相关词条：

Richard Stanley (1944-)：MIT数学教授，代数组合领域元老级人物，带出60位PhD学生，有265位徒子徒孙。著有两卷《Enumerative Combinatorics》(计数组合学)，是这个领域的圣经。在 Stanley 的个人网站中，所有中国合作者名字后面都会备注上汉字。

Ravi Vakil (1970-)：美国代数几何学家，现斯坦福数学教授。著有《The Rising Sea》(上升的海平面) 一书，是代数几何的优秀入门教材。他有一个关于“找开关”的比喻：“做数学就像进入一间黑暗的大宅。当你走进第一间房，周围是伸手不见五指的漆黑。你蹒跚地摸索着，时常会撞到家具上。但你也渐渐熟悉了每件家具的位置。终于，也许在六个月或更长时间后，你找到了房灯的开关，把它打开。立刻，光明充满了房间，一切都清晰可见了，你确切地知道自己的所在。于是你进入下一间暗室...”

Lauren Williams (1978-): 美国代数组合学家，Richard Stanley 的学生，原为UC Berkeley数学系教授，现哈佛数学系教授，是 cluster algebra 领域的专家。

REU：本科生暑期科研，让本科生从小的题目入手，提前体验到科研的模式，从而未来做出合适的选择。

IMO: 一年一次的国际数学奥林匹克竞赛，是高中最受瞩目的数学竞赛，每个国家一年只能派出6人参赛。刚刚比完的2021年IMO由俄罗斯圣彼得堡举办，是历史上首次线上比赛，中国，俄罗斯，韩国位列前三名。2022年的IMO即将举办在挪威首都奥斯陆。

IOL：国际语言学奥林匹克竞赛。笔者觉得题目很像解谜游戏，来试试图片里这道例题。

代数组合 (Algebraic combinatorics): 用代数的方法研究组合问题，往往和表示论/交换代数/代数几何等领域有联系。研究的对象有对称多项式 (symmetric polynomial)，杨表 (Young tableau)，拟阵 (matroid)，热带几何 (tropical geometry) 等等。

环 (ring)：在抽象代数中，环是定义有加法和乘法，并对加减乘封闭的结构。比方说整数，实数，复数都构成环，NxN 的所有矩阵也构成一个环。而正整数则不是环，因为两个正整数的差可以不是正整数。

分次环 (graded ring): 一种可以定义次数 (degree) 的环。一个常见的例子是多项式环 (polynomial ring)，比方说 C[x, y] 中的元素有 1, x, y, x^2, xy, y^2, ...以及它们的线性组合，而 x^n*y^m 这一项的次数就定义为 n+m。

Hilbert 函数：一种对分次环的可视化手段。这个函数的定义为：输入一个次数，输出环在这个次数下的维度。比如对于C[x, y]，在次数为N的部分由 x^N, x^(N-1)y, …, y^N 这 N+1项生成，因此它的 Hilbert 函数就是 f(N) = N+1。

本期书影音：

《Soul》(心灵奇旅)

《叛逆的鲁鲁修》

《Hunter x Hunter》

Burn It Up (활활) - Wanna One (워너원)

片头：oを探して - 藤原启治 (“寻找圆”，《四叠半神话大系》插曲)

插曲：Comethru - Jeremy Zucker

片尾：Energetic (에너제틱) - Wanna One (워너원)

沙发上的人类学家 (Armchair anthropologist) 是指那些坐在家里大谈特谈这个世界的人，他们不去亲自接触研究对象，却自以为已对其了如指掌。由此延伸，沙发上的数学家就是那些从来不愿亲自动手计算，闭门造车也不与同行交流，而每日只读文献的人。本期我们请来了即将在美国读数学博士的珀珀。本科在文理学院并多次赴欧洲交换的她眼中的数学世界是什么样的呢，让我们跟着她离开沙发，出去看看。

时间轴

1:30 嘉宾介绍

2:27 我在东欧学数学

4:50 Study abroad是为study还是abroad?

10:56 何谓沙发上的数学家？

17:54 横看成岭侧成峰——从Yoneda lemma讲起

22:23 武侠与师承

26:59 数学科幻也是一种科幻

31:45 维度的奇妙冒险

35:09 原来数学家也写日记

本期相关术语

加性组合 (Additive combinatorics): 陶哲轩等人在2010年左右创立的组合分支，研究两个集合与它们的和之间的大小关系。被应用在素数等差数列等问题中。

极值组合 (Extremal combinatorics): 研究满足特定条件的数字/集合/图最大有多大，最小有多小。举个例子：一个聚会里最多能邀请多少人，使得任意三人中都有两人互相认识，还有两人互相不认识？答案：最多5人。

代数组合 (Algebraic combinatorics): 用代数的方法研究组合问题，往往和表示论/交换代数/代数几何等领域有联系。研究的对象有对称多项式 (symmetric polynomial)，杨表 (Young tableau)，拟阵 (matroid)，热带几何 (tropical geometry) 等等。

László Lovász: 2021年阿贝尔奖得主。阿贝尔奖被认为是数学界的终身成就奖，Lovász以他在理论计算机与离散数学的成就获此荣誉。

代数几何: 经典代数几何研究的是多项式的解所构成的形状。如图所示，二元三次方程的解集被称作椭圆曲线 (elliptic curve)。代数几何与数学中众多领域都联系紧密：交换代数，代数拓扑，范畴论，复几何，代数组合，表示论，代数数论等等。

Jucys-Murphy元素：表示论与代数组合中的概念。是对称群S_n的群代数 (group algebra) 中的一类元素，它们组成的对称多项式会生成这个群代数的中心 (center)。节目中提到用辫群的几何解释来源于 IAS 2021 Terng Lecture (Monica Vazirani)。

辫群 (Braid group): 在辫子上面可以定义加法（如图所示）得到一个群结构。与纽结理论，数学物理，代数几何相关。

米田引理 (Yoneda lemma): 范畴论中的一个重要引理，得名于日本数学家米田信夫。这个引理说了这样一件事：“了解一个物体就能了解所有物体与它之间的关系，反之亦然。”

Mathematics Genealogy Project: 一个查询数学家谱系图的网站。截止今日，高斯有101964个徒子徒孙。

正多面体: 二维正多面体即正多边形，所以有无穷个，三维正多面体有5个（如图所示），而四维正多面体有6个，五维及以上每个维度里正多面体只有3个。因此得到 ∞, 5, 6, 3, 3, 3, … 这个神奇的数列。

魔群 (Monster group): 抽象代数中的概念，魔群是一个由大约 8×1053 个元素构成的群，是最大的有限单群 (finite simple group)。它所代表的的最简单的对象是一个196883维空间的对称性。魔群月光猜想 (Monstrous moonshine) 建立了魔群与数论中的模函数 (modular function) 之间奇诡的联系，由数学家 Richard Borcherds 证明，他也因此获得1998年的菲尔茨奖。

本期书影音

书籍:

《平面国》Edwin Abbott

《爱与数学》Edward Frenkel

《I Want to Be a Mathematician》Paul Halmos

《惰者集》小平邦彦

《收获与播种》Alexander Grothendieck

《The Topos of Music》Guerino Mazzola

《白马啸西风》金庸

《倚天屠龙记》金庸

《黑暗的左手》Ursula K. Le Guin

《奇点遗民》刘宇昆

《伤心者》何夕

《黎曼的猫》北星

纪录片：

《维度：数学漫步》 (Dimensions: a walk through mathematics)

音乐:

The Rain Song - Led Zeppelin

Mid City Love - Jeff Lewis

静止 - 花儿乐队

封面：Alice's Adventures in Wonderland by Lewis Carroll, illustrated by Lisbeth Zwerger