Explorez tous les épisodes du podcast Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman
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| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Michael Magee : Strong Convergence of Unitary Representations | 28 janv. 2026 | 00:38:25 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Michael Magee : Strong Convergence of Unitary Representations Michael Magee Durham University In the past few years the notion of "strong convergence" of multi-matrix models has found applications across pure mathematics including to random graphs, operator algebras (in several ways), spectral theory of hyperbolic manifolds, and the theory of minimal surfaces. I will define strong convergence of unitary representations of groups and then discuss the still-mysterious and broad-ranging question of which discrete groups have finite dimensional unitary or "permutation" representations that strongly converge to their regular representation. Based on joint works with W. Hide, L. Louder, D. Puder, M. de la Salle, J. Thomas, R. van Handel. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Jean Raimbault : A Priori Bounds for the Homology of Arithmetic Manifolds | 28 janv. 2026 | 00:53:22 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Jean Raimbault : A Priori Bounds for the Homology of Arithmetic Manifolds Jean Raimbault CNRS, Institut de mathématiques de Marseille It is well-known that the Betti numbers of nonpositively-curved manifolds are (under normalisation of curvature and some additional assumptions) linearly bounded by their volume. In a joint work with M. Frączyk and S. Hurtado we showed that for the sub-class of arithmetic locally symmetric spaces similar bounds hold for torsion homology. In most cases we also obtain sublinear bounds for the Betti numbers on terms of the volume. The main tools for both results are geometric, and i will explain our main technical result, a stronger version of the Margulis lemma specific to arithmetic manifolds. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Ramon van Handel : The Polynomial Method | 28 janv. 2026 | 00:53:23 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Ramon van Handel : The Polynomial Method Ramon van Handel Princeton University The polynomial method is a recent approach for establishing optimal spectral gaps that has led to new progress on various problems surrounding spectral gaps of random graphs and hyperbolic surfaces, and strong convergence of group representations. My aim in this talk is to explain in a general setting how and why this method works. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Alice Guionnet : About Non-Commutative Entropy and Topology | 28 janv. 2026 | 00:51:18 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Alice Guionnet : About Non-Commutative Entropy and Topology Alice Guionnet CNRS, École normale supérieure de Lyon In the 1990s, Voiculescu developed the theory of non-commutative entropy. For a single non-commutative variable, this entropy reduces to the rate function of the empirical measure of the eigenvalues of a Gaussian matrix. For several non-commutative variables, such a principle of large deviations, concerning the joint moments of Gaussian matrices, is not completely established. The topology used is that of the weak topology of non-commutative laws. This topology is not adequate for studying matrices whose coefficients have heavy tails and which typically have a finite number of non-zero coefficients per row or column. To overcome this shortcoming, Camille Male introduced traffics and the corresponding topology. I will discuss the associated entropy introduced in a recent article with Charles Bordenave and Camille Male, as well as the relationship between the topology of traffics and Benjamini and Schramm topology. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Bram Petri : Bass Notes of Closed Arithmetic Hyperbolic Surfaces | 27 janv. 2026 | 00:58:58 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Bram Petri : Bass Notes of Closed Arithmetic Hyperbolic Surfaces Bram Petri Sorbonne Université The spectral gap (or bass note) of a closed hyperbolic surface is the smallest non-zero eigenvalue of its Laplacian. This invariant plays an important role in many parts of hyperbolic geometry. The talk will start with a brief introduction to the (spectral) hyperbolic surfaces and some of the general motivation for the subject. After that, I will speak about joint work with Will Hide on the question of which numbers can appear as spectral gaps of closed arithmetic hyperbolic surfaces. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicolas Raymond : De l'effet tunnel magnétique | 27 janv. 2026 | 00:56:35 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicolas Raymond : De l'effet tunnel magnétique Nicolas Raymond Université d'Angers Tout au long de cet exposé, il sera question d'effet tunnel dans le cadre de l'équation de Schrödinger avec champ magnétique. Nous évoquerons d'abord les travaux d'Helffer et Sjöstrand des années quatre-vingts dans le cas des potentiels électriques, ainsi que leurs reviviscences relativement récentes. Puis, nous explorerons les travaux menés depuis plus de dix ans – notamment avec V. Bonnaillie-Noël, S. Fournais, Y. Guedes Bonthonneau, F. Hérau, L. Morin et S. Vũ Ngọc – dans un contexte purement magnétique. Au cœur de l'exposé, nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Sous l'hypothèse que le champ magnétique est intense et possède un double puits générique, nous exhiberons une formule asymptotique explicite révélant que l'écart entre les deux plus petites valeurs propres est exponentiellement petit, mais non nul. Nous expliquerons également comment la célèbre dynamique centre-guide permet de franchir quantiquement, par effet tunnel, une barrière magnétique. Nous montrerons les premières approximations exponentiellement précises des fonctions propres dans la zone classiquement interdite par les variations du champ magnétique. De façon adventice, nous soulignerons les différences essentielles entre les effets électriques et magnétiques. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Kohei Suzuki : Interacting Brownian Motions, Wasserstein Gradient Flow and Ricci Curvature Bound | 27 janv. 2026 | 00:53:21 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Kohei Suzuki : Interacting Brownian Motions, Wasserstein Gradient Flow and Ricci Curvature Bound Kohei Suzuki Durham University In this talk, we focus on an infinite-dimensional model of repulsively interacting Brownian motions: Dyson Brownian motion (DBM) at soft-edge scaling. It is known that its stationary process is the Airy line ensemble, a collection of non-intersecting random curves linked to many models in the KPZ universality class. We show that its time-marginal law is characterised as a Wasserstein steepest gradient descent of the relative entropy in the space of probability measures over the configuration space — an infinite-dimensional analogue of Jordan-Kinderlehrer-Otto/Ambrosio-Gigli-Savaré theory. From a metric-geometric viewpoint, our result shows that the configuration space endowed with invariant measure of the DBM (i.e., Airy_2 point process) is an RCD space, a space having a uniform Ricci curvature lower bound in the sense of Lott-Villani/Sturm and Gigli. As an application, we establish various new functional inequalities (e.g., HWI, distorted Brunn-Minkowski, dimension-free Harnack) for the model. Furthermore, we discover the new phenomenon that the time-marginal law exhibits number rigidity in the sense of Ghosh and Peres (i.e., the number of particles inside a box is determined by the configuration outside), revealing a formation of a random crystal-like structure by the DBM. This talk is based on arXiv:2509.06869. | |||
| Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicola Gigli : De Giorgi and Gromov Working Together | 27 janv. 2026 | 00:59:45 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 Colloque - Géométrie et spectre des grands objets - Nicola Gigli : De Giorgi and Gromov Working Together Nicola Gigli SISSA, Trieste Résumé I shall give an overview of basic definitions and results related to weak convergence of manifold/spaces with Ricci curvature bounded from below. A main message I want to convey is that in this situation not only we have spectral convergence, but in fact full convergence of the heat flow. The key underlying notions of convergence here are De Giorgi's Gamma-convergence of lower semicontinuous functionals and Gromov's convergence of geometric structure. | |||
| 09 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes II | 21 janv. 2026 | 01:40:54 | |
Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 09 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes II Résumé On démontre que la transformée de Stieltjes des matrices aléatoires hermitiennes NxN est point fixe d'une certaine transformation (à N^{-2} près). | |||
| 08 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes | 14 janv. 2026 | 01:31:11 | |
Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 08 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen sur la convergence spectrale forte des matrices gaussiennes | |||
| 07 - Convergences de spectres et notes fondamentales : La méthode polynomiale | 07 janv. 2026 | 01:36:11 | |
Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 07 - Convergences de spectres et notes fondamentales : La méthode polynomiale Résumé Cet exposé présente les principales idées de la « méthode polynomiale » de Chen--Garza-Vargas--Tropp--Van Handel pour démontrer la convergence spectrale forte. | |||
| 06 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : fin de la preuve de Friedman, introduction à la méthode polynomiale. Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen pour les matrices gaussiennes | 17 déc. 2025 | 01:33:26 | |
Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 06 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : fin de la preuve de Friedman, introduction à la méthode polynomiale. Travaux de Haagerup–Thorbjørnsen pour les matrices gaussiennes | |||
| 05 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon II | 03 déc. 2025 | 01:36:42 | |
Nalini Anantharaman Chaire Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 05 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon II | |||
| 04 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon | 26 nov. 2025 | 01:31:20 | |
Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 04 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence spectrale forte : preuve de Friedman de la conjecture d'Alon Résumé Après avoir terminé d'énoncer les conséquences de la convergence au sens de Benjamini et Schramm pour des suites d'espaces métriques mesurés, nous nous tournons vers la notion de convergence spectrale forte. Les prochaines séances seront consacrées au cas des modèles de graphes réguliers aléatoires et à la démonstration par Joel Friedman de la convergence spectrale forte presque sûre. | |||
| 03 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence au sens de Benjamini et Schramm | 19 nov. 2025 | 01:29:41 | |
Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 03 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Convergence au sens de Benjamini et Schramm | |||
| 02 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales II | 12 nov. 2025 | 01:33:36 | |
Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Année 2025-2026 Collège de France 02 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales II | |||
| 01 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales I | 05 nov. 2025 | 01:36:45 | |
Nalini Anantharaman Chaire Géométrie spectrale Collège de France Année 2025-2026 01 - Convergences de spectres et notes fondamentales : Notions de convergences géométriques et spectrales I | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra | 29 janv. 2025 | 00:51:33 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra Intervenant : Yilin Wang IHES Résumé The goal of this talk is to showcase how we can use stochastic processes to study the geometry of surfaces. More precisely, we use the Brownian loop measure to express the lengths of closed geodesics on a hyperbolic surface and zeta-regularized determinant of the Laplace-Beltrami operator. This gives a tool to study the length spectra of a hyperbolic surface and we obtain a new identity between the length spectrum of a compact surface and that of the same surface with an arbitrary number of additional cusps. This is a joint work with Yuhao Xue (IHES). | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries | 29 janv. 2025 | 00:54:48 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries Intervenant : Jérémie Bouttier Sorbonne Université Résumé Les cartes combinatoires sont des surfaces discrètes obtenues par recollement de polygones. Les premiers résultats d'énumération les concernant ont été obtenus par Tutte dans les années 1960. Au cours des années 1980-90, elles ont été très étudiées en physique théorique (sous divers vocables : diagrammes planaires, graphes-ruban...) en raison de leurs liens avec la gravité quantique bidimensionnelle et les modèles de matrices. Enfin, depuis les années 2000, de nouvelles approches combinatoires et probabilistes ont conduit à d'importants développements. Après avoir donné un aperçu de cette longue histoire, j'évoquerai quelques résultats obtenus en collaboration avec Emmanuel Guitter et Grégory Miermont, sur l'énumération des cartes à bords géodésiques. Ceux-ci suggèrent une analogie avec la géométrie hyperbolique, déjà observée dans d'autres contextes, dont notamment la récurrence topologique. Nous aimerions parvenir à une explication « bijective » de cette analogie. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten | 29 janv. 2025 | 00:52:58 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten Intervenant : Thierry Lévy Sorbonne Université Résumé Dans cet exposé, je présenterai la manière dont Witten a calculé, au début des années 1990, le volume symplectique de l'espace des modules de connexions plates sur un fibré principal au-dessus d'une surface compacte sans bord. L'idée principale de Witten était d'approcher la mesure de Liouville sur l'espace des connexions plates par une mesure sur l'espace de toutes les connexions (modulo tranformations de jauge), la mesure de Yang—Mills non normalisée, dont il est "facile" de calculer le volume, en tout cas à un certain niveau heuristique. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic Geometry | 29 janv. 2025 | 00:52:18 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic Geometry Intervenant : Bertrand Eynard CEA Saclay Résumé La géométrie aléatoire consiste à calculer des espérances et probabilités sur des objets géométriques aléatoires, typiquement des surfaces (surfaces hyperboliques, surfaces discrètes, surfaces immergées dans un espace cible, ou portant certains champs, etc.) Fait remarquable, les fonctions génératrices comptant les surfaces de topologie fixée sont souvent des fonctions algébriques. De plus, il existe une récurrence universelle appelée récurrence topologique, qui relie l'énumération des surfaces de genre g avec n bords à celle des disques (g=0,n=1) : « si vous savez énumérer les disques, la récurrence topologique vous dit comment énumérer toutes les topologies. » La fonction génératrice des disques est appelée la courbe spectrale. Cette observation permet de reformuler le problème d'énumération dans le langage de la géométrie algébrique : une fois la courbe spectrale spécifiée, toutes les autres fonctions génératrices peuvent être dérivées. Ce cadre peut également être interprété à travers le prisme de la symétrie miroir. Dans cette perspective, un problème d'énumération est le « miroir » d'une courbe algébrique, et les calculs d'énumération se traduisent en calculs d'analyse complexe sur cette courbe. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translation | 29 janv. 2025 | 00:54:41 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translation Intervenant : Adrien Sauvaget CNRS, Université Cergy-Pontoise Résumé Une surface de translation est une surface de Riemann munie d'une différentielle holomorphe. Cette différentielle définit une métrique plate (hors du lieu singulier) dont l'holonomie est triviale. J'expliquerai comment le comptage de géodésique longues sur une surface de translation générique a été permis par l'étude des espaces des modules associés. Ces résultats mêlent des arguments de théorie ergodique, de théorie des représentations et de géométrie algébrique. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Agnès Desolneux : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitale | 28 janv. 2025 | 00:55:33 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitale Intervenante : Agnès Desolneux CNRS, École normale supérieure Paris-Saclay Résumé In this talk I will present several random image models that are else explicit (such as Gaussian models or Boolean models for instance), or more "implicit" (such as images generated by a neural network). I will discuss how these models are used to understand the detectability of some lesions in digital mammograms. I will also discuss another interest of such models, which is that they allow to perform virtual clinical trials. ---- Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas. Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie. En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition. Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Anne Estrade : Géométrie des excursions de champs aléatoires réguliers et inférence statistique | 28 janv. 2025 | 01:03:38 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications : Géométrie des excursions de champs aléatoires réguliers et inférence statistique Intervenante : Anne Estrade Université Paris Cité Résumé Some geometrical and topological features of the excursions of smooth random fields will be presented, such as their expected Lipschitz-Killing curvatures. The concerned random fields will be Gaussian or Gaussian based, but also shot-noise fields will be considered. Based on these features, one can statistically infer some informations on the underlying random field, in particular statistical tests (of Gaussianity, or of isotropy) and parameters estimations. A special focus on the two-dimensional case will be payed as it is the natural framework for image analysis. ---- Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas. Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie. En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition. Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - François Baccelli : Sur les graphes aléatoires unimodulaires | 28 janv. 2025 | 01:00:12 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications : Sur les graphes aléatoires unimodulaires Intervenant : François Baccelli Inria & École normale supérieure Paris Résumé L'exposé introduira d'abord les graphes aléatoires unimodulaires et donnera plusieurs exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, des marches aléatoires et des ensembles aléatoires discrets auto-similaires. Plusieurs types de résultats sur ces graphes seront ensuite passés en revue : Des extensions unimodulaires de théorèmes classiques du calcul de Palm et de la théorie ergodique. Une classification des dynamiques déterministes ou aléatoires sur ces graphes basée sur les propriétés de leurs variétés stables. Deux nouvelles notions de dimension pour de tels graphes, à savoir leurs dimensions unimodulaires de Minkowski et de Hausdorff. Cet exposé est basé sur une série d'articles en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli. ---- Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas. Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie. En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition. Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications. | |||
| Colloque - Géométries aléatoires et applications - Pierre Calka : Gros plan sur la géométrie aléatoire convexe | 28 janv. 2025 | 00:52:32 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 Colloque - Géométries aléatoires et applications : Gros plan sur la géométrie aléatoire convexe Intervenant : Pierre Calka Université de Rouen Normandie Résumé L'exposé porte sur un certain type de géométrie aléatoire qui mélange géométrie convexe et intégrale avec la théorie des probabilités et plus particulièrement la notion de processus ponctuel. Celui-ci consiste en général à se donner un ensemble discret de points aléatoires dans l'espace euclidien puis d'effectuer une construction géométrique déterministe à partir de cet ensemble et d'étudier l'objet aléatoire obtenu. Nous nous concentrons en particulier sur le plus petit polytope convexe contenant le nuage aléatoire de points, c'est-à-dire son enveloppe convexe. Un tel modèle apparaît naturellement dans différents domaines comme la géométrie algorithmique, l'analyse d'images ou la statistique de données multivariées. Une fois donné le contexte historique, nous présentons quelques résultats asymptotiques récents en faisant un gros plan sur la frontière du polytope aléatoire. Ceux-ci incluent des lois limites, valeurs extrêmes ou des propriétés en grande dimension. Nous espérons en chemin donner un aperçu significatif des outils mathématiques requis, à la fois en probabilités et en géométrie, et tenter de faire le pont avec d'autres domaines comme les équations aux dérivées partielles. L'exposé est basé sur plusieurs travaux communs avec Joe Yukich, Gauthier Quilan et Benjamin Dadoun. ---- Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas. Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie. En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition. Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications. | |||
| 09 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Trou spectral des surfaces aléatoire | 22 janv. 2025 | 01:59:33 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 09 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Trou spectral des surfaces aléatoire Intervenant : Nalini Anantharaman Professeur du Collège de France | |||
| 08 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions de Friedman-Ramanujan | 15 janv. 2025 | 01:52:35 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 08 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions de Friedman-Ramanujan Intervenant : Nalini Anantharaman Professeur du Collège de France | |||
| 07 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes quelconques | 08 janv. 2025 | 01:59:16 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 07 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes quelconques Intervenant : Nalini Anantharaman Professeur du Collège de France | |||
| 05 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes simples | 18 déc. 2024 | 01:34:37 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 05 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes simples | |||
| 04 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences (suite) | 11 déc. 2024 | 01:47:11 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 04 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences (suite) Résumé : Après avoir décrit la procédure d'intégration sur des espaces quotients, nous en déduisons la première formule d'intégration de Mirzakhani, qui exprime l'intégrale de fonctions du type « longueur d'une multi-courbe » en termes du volume de l'espace des modules du complémentaire de la multi-courbe. Nous démontrons ensuite le théorème de Bers et en déduisons que le volume de Weil-Petersson de l'espace des modules est fini. Enfin, nous commençons la démonstration de l'identité de McShane, généralisée par Mirzakhani, et qui constitue le premier pas vers les formules de récursion topologique. Références : M. Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Inventiones Math. 2006 (sections 3 et 4 et version personnelle du théorème 8.1). P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, Modern Birkhäuser Classics, Section 5.1. | |||
| 03 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences | 04 déc. 2024 | 01:57:13 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 03 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences Résumé : Après avoir décrit la procédure d'intégration sur des espaces quotients, nous en déduisons la première formule d'intégration de Mirzakhani, qui exprime l'intégrale de fonctions du type « longueur d'une multi-courbe » en termes du volume de l'espace des modules du complémentaire de la multi-courbe. Nous démontrons ensuite le théorème de Bers et en déduisons que le volume de Weil-Petersson de l'espace des modules est fini. Enfin, nous commençons la démonstration de l'identité de McShane, généralisée par Mirzakhani, et qui constitue le premier pas vers les formules de récursion topologique. Références : M. Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Inventiones Math. 2006 (sections 3 et 4 et version personnelle du théorème 8.1). P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, Modern Birkhäuser Classics, Section 5.1. | |||
| 02 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Formules d'intégration de Mirzakhani | 20 nov. 2024 | 01:53:51 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 02 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Modèles de surfaces hyperboliques aléatoires Résumé Nous décrivons succinctement un autre modèle probabiliste, le modèle de revêtements aléatoires d'une surface hyperbolique, afin de pouvoir énoncer les théorèmes de Magee-Naud-Puder et Magee-Hide concernant le trou spectral de ces surfaces. Nous passons enfin à la description de la mesure de Weill-Petersson sur l'espace des modules des structures hyperboliques, sur une surface compacte orientée. Cet espace des modules étant défini comme quotient de l'espace de Teichmüller, il nous faudra développer quelques formules de base concernant l'intégration sur des espaces quotients.
Références M. Magee, F. Naud, D. Puder, A random cover of a compact hyperbolic surface has relative spectral gap 3/16-epsilon. Geometric and functional analysis 2022, Théorème 1.5 W. Hide, M. Magee, Near optimal spectral gaps for hyperbolic surfaces, Annals of Math. 2023, Théorème 1.1 P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, début du Chapitre 6 S. Wolpert, On the Weil-Petersson geometry of the moduli space of curves, American J. of Math. 1985 | |||
| 01 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Modèles de surfaces hyperboliques aléatoires | 06 nov. 2024 | 01:56:48 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2024-2025 01 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Modèles de surfaces hyperboliques aléatoires Résumé Le but du cours de cette année est de décrire les surfaces hyperboliques aléatoires, leur géométrie et leur spectre. Nous évoquerons aussi les graphes réguliers aléatoires, dont la combinatoire et la théorie spectrale sont à maints égards analoque à celles des surfaces hyperboliques. Dans cette séance, nous introduisons la méthode probabiliste de Paul Erdös, et définissons plusieurs modèles de graphes réguliers aléatoires. Nous nous intéressons principalement à leur constante de Cheeger et leur trou spectral, mais aussi à leur systole et leur diamètre. Références P. Erdös, Graph theory and probability. Canadian Journal of Math. 1959. Preuve de l'inégalité (4) B. Bollobás, The isoperimetric number of random regular graphs, Eur. Journal of Combinatorics 1988 P. Diaconis, D. Stroock, Geometric bounds for eigenvalues or Markov chains, Ann. Appl. Probab. 1991. Proposition 6 (inégalité de Cheeger). J. Friedman, A Proof of Alon's Second Eigenvalue Conjecture and Related Problems. Memoirs of the AMS 2008. Introduction (Partie 1, définition des modèles de graphes réguliers aléatoires) | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Du flot géodésique à l'équation des ondes sur une variété Anosov | 02 févr. 2024 | 01:07:50 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds Frédéric Faure Université Grenoble Alpes Résumé La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse. Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta. Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique. On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques. Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196. | |||
| 08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II) | 02 févr. 2024 | 01:29:20 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II) Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon. | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds | 26 janv. 2024 | 00:56:13 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds Silvia Pappalardi Université de Cologne Résumé In the past few years, there has been considerable activity around a set of quantum bounds on transport coefficients (viscosity, conductivity) and chaos (Lyapunov exponents), relevant at low temperatures. The interest comes from the fact that black-hole models seem to saturate all of them. However, the relation between the different bounds and physical properties of the systems saturating the is still a matter of ongoing research. In this talk, I will discuss how one can gain physical intuition by studying classical and quantum free dynamics on curved manifolds. Thanks to the curvature, such models display chaotic dynamics up to low temperatures, and – as I will show how – they violate the bounds in the classical limit. The talk aims to discuss three different ways in which quantum effects arise to enforce the bounds in practice. For instance, I will show how chaotic behavior is limited by the quantum effects of the curvature itself. As an illustrative example, I will consider the simple case of a free particle on a two-dimensional manifold, constructed by joining the surface of constant negative curvature – a paradigmatic model of quantum chaos – to a cylinder. The resulting phenomenology can be generalized to the case of several (constant) curvatures. The presence of a hierarchy of length scales enforces the bound to chaos up to zero temperature. | |||
| 07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I) | 26 janv. 2024 | 01:17:50 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I) Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon. | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes | 19 janv. 2024 | 01:02:34 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes Sébastien Gouëzel, Université Rennes 1 Résumé Les résonances de Ruelle sont des caractéristiques d'un système dynamique qui décrivent les asymptotiques fines des corrélations en temps grand. Il est maintenant bien connu que cette notion est bien définie pour les systèmes uniformément hyperboliques lisses sur les variétés compactes. Dans cet exposé, je m'intéresserai au cas du flot géodésique sur des variétés non compactes. Dans une certaine classe de variétés (appelées SPR), j'expliquerai qu'on peut définir des résonances de Ruelle dans un demi-plan, dont l'abscisse est donnée par un exposant critique à l'infini. Travail avec Barbara Schapira et Samuel Tapie. | |||
| 06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes | 19 janv. 2024 | 01:07:09 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes Récemment, Dang et Rivière ont démontré une identité remarquable, qui exprime la valeur en 0 des séries de Poincaré de n'importe quelle surface de courbure négative en fonction de la caractéristique d'Euler. Ainsi, une série de Dirichlet définie à partir des longueurs des géodésiques, possède une valeur en 0 qui dépend uniquement de la topologie de la surface. Dans ce cours, nous démontrons un théorème analogue pour les graphes. Nous reprenons la méthode de Dang et Rivière, mais le fait de travailler sur un espace discret demande de modifier significativement certaines étapes. | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Poincaré Series and Convex Bodies on Flat Tori | 12 janv. 2024 | 00:53:36 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Poincaré Series and Convex Bodies on Flat Tori Nguyen Viet Dang, Institut de Mathématiques de Jussieu Résumé I will start to motivate few recent results on Poincaré series from a naive personal viewpoint. Then I will report on joint work with Yannick Bonthonneau, Matthieu Léautaud, Gabriel Rivière where we consider Poincaré series on the torus which count orthogeodesics between convex bodies. When the convex are analytic, the Poincaré series has analytic extension through the imaginary axis as a multivalued holomorphic function with an infinite number of branching points. We determine explicitely the monodromy around these singular points. | |||
| 06 - Spectres de graphes et de surfaces : Régularité des états résonants d'une surface hyperbolique compacte | 12 janv. 2024 | 01:16:13 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 06 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II) Nous terminerons le calcul des résonances de Ruelle d'une surface hyperbolique compacte, commencé au dernier cours en utilisant la théorie des représentations de PSL(2, R). Nous traiterons en détail le cas des séries principales. Nous calculerons les coefficients de Fourier des états résonants et en déduirons qu'ils appartiennent à des espaces de Sobolev négatifs. On fera ensuite une brève présentation de la théorie des espaces de Sobolev anisotropes, afin de comparer les résultats obtenus par les deux méthodes (théorie des représentations / espaces anisotropes). | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Projecteurs spectraux sur les surfaces hyperboliques | 22 déc. 2023 | 00:55:51 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Projecteurs spectraux sur les surfaces hyperboliques Jean-Philippe Anker, Université d'Orléans Résumé Dans une collaboration en cours avec Pierre Germain et Tristan Léger, nous nous intéressons aux normes L2 - Lp des projecteurs spectraux dans de petites fenêtres spectrales sur les surface hyperboliques d'aire infinie. En l'absence de « cusps », nous obtenons des estimations quasi optimales et meilleures qu'en courbure non négative. Après un rappel historique du sujet, qui remonte au théorème de restriction de Stein-Tomas, nous donnerons un aperçu des méthodes utilisées pour parvenir à ce résultat. | |||
| 05 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II) | 22 déc. 2023 | 01:15:01 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 05 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II) | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Determinants of Laplacians and Random Surfaces | 15 déc. 2023 | 00:54:09 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Determinants of Laplacians and Random Surfaces Frédéric Naud, Sorbonne Université Résumé In this talk we will discuss the asymptotic behavior of determinants of Laplacians on random surfaces of large genus. We will motivate this problem by questions related to quantum field theory and topology of hyperbolic manifolds. | |||
| 04 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (I) | 15 déc. 2023 | 01:20:41 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 04 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (I) | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Circuit QED Lattices: From Synthetic Quantum Systems to Spectral Graph Theory | 08 déc. 2023 | 01:06:44 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs Alicia Kollár, University of Maryland Résumé After two decades of development, superconducting circuits have emerged as a rich platform for quantum computation and simulation. When combined with superconducting qubits, lattices of coplanar waveguide (CPW) resonators can be used to realize artificial photonic materials or photon-mediated spin models. Here I will highlight the special properties of this hardware implementation that lead to these lattices naturally being described as line graphs. Elucidating this connection required combining theoretical and computational methods from both physics pure mathematics, and has lead not only to a new understanding of the physics of these devices [1, 2], but also new results regarding spectral gaps of 3-regular graphs [3], and a framework for studying a new class of topologically-protected quantum error correcting codes [4]. | |||
| 03 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2) | 08 déc. 2023 | 01:16:03 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 03 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2) Résumé Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass. | |||
| Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs | 01 déc. 2023 | 01:04:01 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs Peter Sarnak, Princeton University / IAS Princeton Résumé The spectra of large locally uniform geometries have been studied widely and from different points of view. They include Ramanujan Graphs and Buildings, euclidean and hyperbolic spaces and more general locally symmetric spaces. We review some of these briefly highlighting rigidity features. We then focus on the simplest case of finite cubic graphs which prove to be surprisingly rich with structure and applications in combinatorics,physics and chemistry. As one imposes restrictions on these graphs, planarity, fullerenes, ... their spectra become rigid. Joint work with Alicia Kollar and Fan Wei. | |||
| 02 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique (1) | 01 déc. 2023 | 01:08:54 | |
Nalini Anantharaman Géométrie spectrale Collège de France Année 2023-2024 02 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique (1) Résumé Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass. | |||