Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman – Détails, épisodes et analyse

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds

Frédéric Faure

Université Grenoble Alpes

Résumé

La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse.

Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta.

Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique.

On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques.

Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II)

Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Determinants of Laplacians and Random Surfaces

Frédéric Naud, Sorbonne Université

Résumé

In this talk we will discuss the asymptotic behavior of determinants of Laplacians on random surfaces of large genus. We will motivate this problem by questions related to quantum field theory and topology of hyperbolic manifolds.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

04 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (I)

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs

Alicia Kollár, University of Maryland

Résumé

After two decades of development, superconducting circuits have emerged as a rich platform for quantum computation and simulation. When combined with superconducting qubits, lattices of coplanar waveguide (CPW) resonators can be used to realize artificial photonic materials or photon-mediated spin models. Here I will highlight the special properties of this hardware implementation that lead to these lattices naturally being described as line graphs. Elucidating this connection required combining theoretical and computational methods from both physics pure mathematics, and has lead not only to a new understanding of the physics of these devices [1, 2], but also new results regarding spectral gaps of 3-regular graphs [3], and a framework for studying a new class of topologically-protected quantum error correcting codes [4].

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

03 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2)

Résumé

Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs

Peter Sarnak, Princeton University / IAS Princeton

Résumé

The spectra of large locally uniform geometries have been studied widely and from different points of view. They include Ramanujan Graphs and Buildings, euclidean and hyperbolic spaces and more general locally symmetric spaces. We review some of these briefly highlighting rigidity features. We then focus on the simplest case of finite cubic graphs which prove to be surprisingly rich with structure and applications in combinatorics,physics and chemistry. As one imposes restrictions on these graphs, planarity, fullerenes, ... their spectra become rigid. Joint work with Alicia Kollar and Fan Wei.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

02 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique (1)

Résumé

Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Curves, Surfaces and Intersection

Hugo Parlier, Université du Luxembourg

Résumé

Understanding curves on surfaces has become a primary tool for understanding their hyperbolic structures and associated moduli spaces. This talk will be on understanding curves through their intersection with other curves and themselves.

For instance, through classical work of Dehn, simple closed curves can be described using intersection numbers with other simple curves. An underlying theme will be to figure out to what extent you can describe all curves in a similar fashion. More generally, curves are fabulous objects to experience the interplay between the topology and geometry of hyperbolic surfaces.

Part of the talk will be based on joint work with Binbin Xu.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

01 - Spectres de graphes et de surfaces